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Aproximação Adaptativa de Funções com bases de elementos tensoriais compactos

2014; Linguagem: Português

10.5540/03.2014.002.01.0064

2359-0793

Gilcelia Regiane de Souza, Jorge Stolfi,

Advanced Optimization Algorithms Research

O presente trabalho se enquadra na area de Analise Numerica, com enfoque em tecnicas modernas de aproximacao para funcoes em dominios multidimensionais que requerem resolucao espacial adaptativa. Especificamente, o objetivo e encontrar algoritmos eficientes para aproximacao de funcoes que apresentam detalhes importantes mas de pequena escala (alta frequencia espacial) em regioes relativamente pequenas do dominio. Vamos supor que a funcao a aproximar (funcao objetivo) e amostrada em um numero finito de pontos com posicoes arbitrarias, cuja densidade tambem pode variar bastante de uma regiao para outra. Nestas situacoes e desejavel que a aproximacao tambem seja adaptada a funcao objetivo, com maior parâmetros nas regioes onde ha mais detalhes e/ou pontos. A aproximacao de uma funcao pode ser desejavel por diversos motivos, incluindo eficiencia computacional, consideracoes teoricas sobre a grandeza fisica representada pela funcao, ou pelo fato dela ser conhecida apenas parcialmente. Espera-se que as funcoes aproximadoras pertencam uma classe mais simples e sejam mais faceis de calcular e manipular, por derivadas, integrais, etc. Uma abordagem para aproximacao adaptativa e utilizar combinacoes lineares de uma base de elementos radiais [1], com um elemento centrado em cada ponto dado. De modo geral, esta escolha dos centros dos elementos melhora a estabilidade dos algoritmos de aproximacao [3]. Entretanto, quando o numero de pontos e muito grande, mas a funcao amostrada e relativamente suave, podemos obter uma aproximacao adequada com bases muito menores. Nesses casos, uma vez que nao ha um elemento da base para cada ponto, nao ha mais razao para que os elementos sejam centrados em pontos de amostragem. Por isso, optamos por usar uma base em que os centros dos elementos sao um subconjunto de uma grade regular de centros, independente dos pontos de amostragem. Uma vez que optamos por uma grade regular de centros, o uso de elementos radiais (isotropicos) tambem fica sem justificativa, pois o espacamento entre os elementos depende da direcao. Por isso, optamos pelo uso de elementos tensoriais, que sao produto de elementos univariados cada qual dependendo de uma unica coordenada do dominio. Os elementos tensoriais que usamos sao derivados de um pequeno numero de funcoes-mae com suporte limitado (ou efetivamente limitado), por exemplo, escolhemos duas funcoes-mae, propostas por Wendland: ΦP3,2(r) (1 r)4(4r 1) e ΦP5,4(r) (1 r)7(16r2 7r 1). A funcao-mae ΦG(r), que denominamos de Gaussiana, definida pela formula ΦG(r) e