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Caractéristiques d’Euler-Poincaré, fonctions zêta locales et modifications analytiques

1992; American Mathematical Society; Volume: 5; Issue: 4 Linguagem: Francês

10.1090/s0894-0347-1992-1151541-7

1088-6834

Jan Denef, François Loeser,

Analytic Number Theory Research

Dans cet article nous definissons de nouveaux invariants pour les germes de fonctions analytiques complexes I et les polynomes complexes I, que nous appelons fonctions zeta topologiques Z f, top locales et globales. Nous conjecturons (3.3.2) ques les poles de Z f, top sont lies it la monodromie locale de I. Les fonctions Z f, top sont des fonctions rationnelles definies it l'aide de resolutions plongees n de l'hypersurface I = 0, en fonction de caracteristiques d'Euler-Poincare de strates de n-I(f-I(O)) et de multiplicites de composantes irreductibles de n-\I-I(O)) (3.2). Un des resultats principaux de l'article est qu'elles ne dependent pas du choix de n (Theoreme (3.2)). Nous ne connaissons pas de preuve geometrique directe de ce fait, et nous sommes obliges d'utiliser des resultats arithmetiques concernant les fonctions zeta locales d'Igusa p-adiques qui sont les analogues p-adiques de la distribution II IS: ffJ t-+ J II IS ffJ d x . Heuristiquement les fonctions Z f, top sont obtenues comme limites quand q tend vers 1 de fonctions zeta locales d'Igusa p-adiques, q etant Ie cardinal du corps residuel. Pour donner un sens it cela on se ramene (grace it la theorie de l'approximation de M. Artin) au cas oil I est algebrique, defini sur un corps p-adique K et n a bonne reduction. A l'aide d'une interpolation l-adique on peut alors interpreter Zf,top comme limite de fonctions zeta locales d'Igusa p-adiques associees it I et it l'extension non ramifiee de degre e de K quand e tend vers zero. Si I est un polynome defini sur un corps de nombres, les poles de Z f, top sont poles d'une infinite de fonctions zeta locales d'Igusa p-adiques (voir Ie theoreme (2.2) pour un enonce precis). Nous ne savons pas interpreter directement les poles de Z f, top. Dans les cas etudies en detail ce sont des racines du polynome de Bernstein de I et on peut conjecturer qu'il en est de meme en general. Dans Ie meme esprit nous etablissons une formule (Theoreme (6.1)) pour les modifications analytiques complexes n: X --> Y, avec X et Y des espaces analytiques lisses, dont Ie lieu exceptionnel dans X est un diviseur it croisements normaux E(X). On exprime la caracteristique d'Euler-Poincare o 0 de n(E(X)) , x(n(E(X)) , comme somme de quotients x(E[)/n[, avec E[ des strates de E(X) et n[ des produits de multiplicites de formes differentielles.