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The Dirichlet problem for the fractional Laplacian: Regularity up to the boundary

2013; Elsevier BV; Volume: 101; Issue: 3 Linguagem: Francês

10.1016/j.matpur.2013.06.003

1776-3371

Xavier Ros‐Oton, Joaquim Serra,

Nonlinear Differential Equations Analysis

We study the regularity up to the boundary of solutions to the Dirichlet problem for the fractional Laplacian. We prove that if u is a solution of (−Δ)su=g in Ω, u≡0 in Rn\Ω, for some s∈(0,1) and g∈L∞(Ω), then u is Cs(Rn) and u/δs|Ω is Cα up to the boundary ∂Ω for some α∈(0,1), where δ(x)=dist(x,∂Ω). For this, we develop a fractional analog of the Krylov boundary Harnack method. Moreover, under further regularity assumptions on g we obtain higher order Hölder estimates for u and u/δs. Namely, the Cβ norms of u and u/δs in the sets {x∈Ω:δ(x)⩾ρ} are controlled by Cρs−β and Cρα−β, respectively. These regularity results are crucial tools in our proof of the Pohozaev identity for the fractional Laplacian (Ros-Oton and Serra, 2012 [19], [20]). On étudie la régularité jusqu'à la frontière des solutions du problème de Dirichlet pour le laplacien fractionnaire. On montre que si u est une solution de (−Δ)su=g dans Ω et u≡0 dans Rn\Ω, avec s∈(0,1) et g∈L∞(Ω), alors u est Cs(Rn) et u/δs|Ω est Cα jusqu'au bord ∂Ω pour un certain α∈(0,1), où δ(x)=dist(x,∂Ω). Pour cela, on met en place une méthode fractionnaire analogue à celle de Krylov pour l'inégalité de Harnack au bord. En outre, sous des hypothèses de régularité supplémentaires sur g, on obtient des estimations de Hölder d'ordre supérieur pour u et u/δs. Plus précisément, la norme Cβ de u (respectivement de u/δs) dans {x∈Ω:δ(x)⩾ρ} est contrôlée par Cρs−β (respectivement par Cρα−β). Ces résultats de régularité sont essentiels dans notre démonstration de l'identité de Pohozaev pour le laplacien fractionnaire (Ros-Oton et Serra, 2012 [19], [20]).