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Remarks on the unsubsampled wavelet transform and the lifting scheme

1998; Elsevier BV; Volume: 69; Issue: 2 Linguagem: Inglês

10.1016/s0165-1684(98)00099-1

1872-7557

A. Stoffel,

Mathematical Analysis and Transform Methods

The lifting scheme, which is known to be a very useful tool for the wavelet transform, is adapted to the calculation of the unsubsampled wavelet coefficients. It is shown that – as in the subsampled case – the two-band transform for each FIR filter pair without common zeros can be performed by a finite number of lifting steps. Inverting each step, one gets a perfect reconstruction equivalent to the arithmetic mean of the result of two different reconstruction filters. Because of this easy inversion, the lifting scheme offers a great flexibility in treating boundary conditions in the case of finitely many data. Das Lifting-Schema, das als ein sehr nützliches Werkzeug für die Wavelet-Transformation bekannt ist, wird an die Berechnung der Wavelet-Koeffizienten ohne “Subsampling” angepaßt. Es wird gezeigt, daß – wie im Fall mit Subsampling – für jedes FIR-Filterpaar ohne gemeinsame Nullstellen die Zwei-Band-Transformation mit einer endlichen Zahl von Lifting-Schritten durchgeführt werden kann. Indem man jeden Schritt invertiert, erhält man eine perfekte Rekonstruktion, die äquivalent ist zum arithmetischen Mittel des Ergebnisses zweier unterschiedlicher Rekonstruktionsfilter. Aufgrund dieser einfachen Invertierung bietet das Lifting-Schema eine große Flexibilität bei der Behandlung von Randbedingungen im Fall endlich vieler Daten. Le schéma du soulèvement (lifting scheme), qui est connu comme un outil très utile pour la transformation d’ondelettes, est adapté au calcul des coefficients d’ondelettes sans sous-échantillonnage. Il est démontré que – comme dans le cas du sous-échantillonnage – pour chaque paire de filtres FIR sans zéros communs, la transformation en deux sous-bandes peut être effectuée par un nombre fini de pas de soulèvement (lifting). En invertissant chaque pas de soulèvement, on obtient une reconstruction parfaite qui est équivalente à la moyenne arithmétique de deux filtres de reconstruction différents. Grâce à cette inversion facile, le schéma du soulèvement offre une grande flexibilité pour le traitement de conditions aux limites au cas d’un nombre fini de données.