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A Two-dimensional crack problem

1966; Elsevier BV; Volume: 4; Issue: 3 Linguagem: Inglês

10.1016/0020-7225(66)90005-x

1879-2197

M. Lowengrub,

Elasticity and Material Modeling

In this paper, we consider the problem of determining the distribution of stress in the neighborhood of a crack in an infinitely long elastic strip. Throughout, we assume that the equations of the classical theory of elasticity hold. Two types of boundary value problems are considered. First, we assume that the edges of the strip are given a uniform displacement ε and then we consider the case where the free edges of the strip are pulled by a uniform tension p. By the use of Fourier transforms we reduce the problem to solving a single Fredholm equation of the second kind. Analytical expressions up to the order of δ−6, where δ denotes the thickness of the strip and is much greater than 1, are derived for the shape of the deformed crack and for the crack energy. L'auteur examine la distribution des contraintes dans le voisinage d'une fissure dans une lame élastique infiniment longue. Il admet, dans toute son étude, que les équations de la théorie classique de l'élasticité sont valables. Il considère deux types de conditions aux limites. En premier, que les bords de la lame sont soumis à un déplacement uniforme ε et, ensuite, que les bords libres de la lame sont soumis à une traction uniforme p. En utilisant la transformation de Fourier l'auteurramène le problème à la résolution d'une seule équation de Fredholm de deuxième espèce et il établit des expressions analytiques pour la forme de la fissure déformée et pour l'énergie de fissuration, en allant jusqu'à un ordre deδ−6 où δ représente l'épaisseur de la lame qui est bien supérieure à 1. In dieser Abhandlung betrachten wir das Problem der Bestimmung der Spannungsverteilung in der Umgebung eines Risses in einem unendlich langen elastischen Streifen. Wir nehmen dabei stets die Gültigkeit der Gleichungen der klassischen Elastizitätstheorie an. Zwei Arten von Grenzwert-problemen werden in Betracht gezogen. Zunächst nehmen wir an, dass die beiden Kanten des Streifens eine einheitliche Verformung ε erhalten, und dann betrachten wir den Fall, dass die freien Kanten des Streifens unter einer gleichmässigen Zugspannung p stehen. Durch Verwendung von Fourierumwandlungen reduzieren wir das Problem auf die Lösung einer einzigen Fredholm-Gleichung zweiter Art. Analytische Ausdrücke bis zur Ordnung δ−6, in denen δ die Dicke des Streifens bezeichnet und viel grosser ist als 1, werden für die Form des deformierten Risses und für die Rissenergie abgeleitet. In questo articolo si considéra il problema della determinazione della distribuzione delle sollecitazioni intorno a un'incrinatura in un nastro elastico infinitamente lungo. Si ritiene per tutto lo studio che valgano le equazioni della teoria classica dell'elasticità. Si considerano due tipi di problemi dei problemi limite. Innanzi tutto, si presume che i bordi de nastro subiscano uno spostamento uniforme ε e quindi si considera il caso in cui i bordi liberi del nastro vengano sottoposti a una tensione uniforme p. Impiegando le trasformazioni di Fourier si riduce il problema alla risoluzione di un'unica equazione di Fredholm della seconda specie. Si derivano espressioni analitiche sino all'ordine di δ−6, in cui denota lo spessore del nastro ed è di molto superiore ad 1, per la forma dell'incrinatura deformata e per l'energia della incrinatura. B нacтoящeй paбoтe paccтpиBaeтcя зaдaчa oпpeлeния pacпpeдeлeния нaпpяжeний ε oкpecнocти бecкнeчнoй yпpyгoй пoлocы. Пpинимaeм Bo Bнимaниe ypaBнeния клaccичecкoй тeopии yпpyгocти. paccмoтpeны дBa типa кpaeBыч зaдaч. B пepBoм cлyчae пpинимaeм, чтo нa кpaяч пoлocы зaдaны paBнoмepныe пepeщeния, Bo Bтopoм cлyчae cBoбoдныe кpaя пoлocы пoдBepгaютcя paBнoмepнoмy pacтяжeнию p. Пpимeнeниe тpaнcфopмaции фypьe cBoдит зaдaчy к peшeнию oднoгo ypaBныeния фpeдгoльмa Bтopoгo poдa. aнaлитичecкиe Bыpaжeния дo δ−6 пopядкa, гдe δ oбoзнaчaeт тoлщинy пoлocы и яBляeтcя знaчитeльнo мeньшим 1, BыBeдeны для фopмы дeфopмиpoBaннoй тpeшины и для энepгии тpeщины.