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Convection in a fluid-saturated porous layer with non-uniform temperature gradient

1982; Elsevier BV; Volume: 25; Issue: 8 Linguagem: Inglês

10.1016/0017-9310(82)90209-5

1879-2189

N. Rudraiah, B. Veerappa, Senlin Rao,

Heat Transfer and Optimization

The effect of a non-uniform thermal gradient caused by either sudden heating or cooling at the boundaries or by distributed heat sources on convective heat transfer in a fluid saturated porous medium is investigated using the Brinkman model by means of linear stability analysis. The case of isothermal boundary conditions is examined by considering different combinations of bounding surfaces. In the case of sudden heating or cooling, analytical solutions are obtained using a single-term Galerkin expansion and attention is focussed on the situation where the critical Rayleigh number is less than that for a uniform thermal gradient and the convection is not maintained. Numerical results are obtained for various basic temperature profiles and some general conclusions about their destabilizing effects are presented. In the case of distributed heat sources it is shown, in general, that the effect of heat source on the Rayleigh number is second order and is not felt in the single-term Galerkin expansion. Hence the critical internal Rayleigh number is determined using the higher order expansion by specifying the external Rayleigh number. Both analytical and numerical solutions are obtained and it is shown that the numerical results obtained by a sixth-order approximation agree well to an error of 3.3% for the two-term expansion and closely for the three-term expansion. In particular, it is shown that for values of σ2 ⩾ 2.45 × 105 the different combinations of bounding surfaces give almost the same Rayleigh number and an explanation, following Lapwood, for this surprising behaviour is given. L'effet d'un gradient thermique non uniforme, causé soit par un chauffage ou un refroidissement brusque aux frontières soit par des sources de chaleur distribuées, sur le transfert thermique convectif dans un milieu poreux saturé en fluide est étudie par utisation du modèle de Brinkman au moyen de l'analyse linéaire de stabilité. Le cas des conditions aux limites isothermes est examiné en considérant différentes combinaisons de frontières. Dans le cas d'un chauffage ou refroidissement brusque, des solutions analytiques sont obtenues en utilisant un développement de Galerkin à un seul terme et l'attention est portée sur la situation où le nombre de Rayleigh critique est moindre que celui pour un gradient thermique et la convection n'est pas maintenue. Des résultats numériques sont obtenues pour différents profils de température et quelques conclusions générales sur leur effets déstabilisateurs sont présentées. Dans le cas de sources de chaleur distribuées, on montre qu'en général l'effet de la source de chaleur sur le nombre de Rayleigh est du second ordre. Par suite le nombre de Rayleigh interne critique est déterminé en utilisant un développement à trois termes. En particulier, on montre que pour τ2 ⩾ 2.45 · 105 les combinaisons différentes numérique sont obtenues et on montre que les résultats numériques obtenus par une approximation du sixième ordre s'accorde bien à 3,3% prés pour le développement à deux termes et encore mieux pour le développement à trois termes. En particulier, on montre que pour τ ⩾ 2.45 · 105 les combinaisons différentes de surfaces frontières donnent le même nombre de Rayleigh et on donne une explication de ce comportement surprenant en suivant Lapwood. Durch lineare Stabilitätsanalyse unter Verwendung des Brinkman-Modells wird der Einfluβ eines nicht-gleichförmigen Temperaturgradienten auf den konvektiven Wärmeübergang in einem flüssigkeitsgesättigten Medium untersucht, welcher durch plötzliches Heizen oder Kühlen an den Rändern oder durch verteilte Wärmequellen verursacht wird. Der Fall isothermer Randbedingungen wird für verschiedene Kombinationen von Grenzflächen behandelt. Der Fall mit plötzlichem Heizen oder Kühlen kann mit Hilfe der eingliedrigen Galerkin-Reihenentwicklung analytisch gelöst werden, wobei das Interesse dem Fall gilt, bei dem die kritische Rayleigh-Zahl kleiner als die für gleichförmigen Temperaturgradienten ist und die Konvektion nicht aufrechterhalten bleibt. Es werden numerische Ergebnisse für verschiedene grundlegende Temperaturprofile erhalten und einige allgemeine Schluβfolgerungen über deren destabilisierende Einflüsse gezogen. Im Fall von verteilten Wärmequellen wird gezeigt, daβ im allgemeinen der Einfluβ der Wärmequellen auf die Rayleigh-Zahl von zweiter Ordnung ist und in der eingliedrigen Galerkin-Reihenentwicklung nicht zur Wirkung kommt. Folglich wird die kritische Rayleigh-Zahl mit einer Reinhenentwicklung höheren Grades durch Festlegung der externen Rayleigh-Zahl bestimmt. Es werden analytische und numerische Lösungen erhalten, und es wird gezeigt, daβ die Zahlenergebnisse, die mit einer Näherung sechsten Grades erhalten wurden, bei einem Fehler von 3,3% gut mit der zweigliedrigen und sehr gut mit der dreigliedrigen Reihenentwicklung übereinstimmen. Insbesondere wird gezeigt, daβ für Werte von σ2 ⩾ 2,45 × 105 die verschiedenen Kombinationen von Grenzflächen nahezu auf die gleiche Rayleigh-Zahl führen. Eine Erklärung für dieses überraschende Verhalten wird nach Lapwood gegeben. Иcпoльзyя мoдeль Бpинкмaнa, c пoмoщью линeйнoгo aнaлизa ycтoйчивocти иccлeдoвaнo влияниe нeoднopoднoгo тeмпepaтypнoгo гpaдиeнтa, вoзникaющeгo из-зa внeзaпнoгo нaгpeвa или oчлaздeния нa гpaницaч, или пoд дeйcтвиeм pacпpeдeлeнныч иcтoчникoв тeплa, нa кoнвeктивный тeплoпepeнoc в нacыщeннoй зидкocтью пopиcтoй cpeдe. Пpимeняя paзличныe кoмбинaции гpaничныч пoвepчнocтeй, aнaлизиpyютcя изoтepмичecкиe гpaничныe ycлoвия. B cлyчae внeзaпнoгo нaгpeвa или oчлaздeния c пoмoщью пepвoгo пpиблизeния мeтoдa Гaлepкинa пoлyчeны aнaлитичecкиe peшeния; ocoбoe внимaниe yдeлeнo cитyaции, кoгдa знaчeниe кpитичecкoгo чиcлa Peлeя мeньшe знaчeния, пoлyчaeмoгo пpи oднopoднoм тeмпepaтypнoм гpaдиeнтe в oтcyтcтвии кoнвeкции. Пoлyчeны чиcлeнныe peзyльтaты для paзличныч пpoфилeй тeмпepaтypы и cдeлaны нeкoтopыe oбoбщaющиe вывoды oтнocитeльнo ич дecтaбилизиpyющeгo влияния. B cлyчae pacпpeдeлeнныч иcтoчникoв тeплa в oбщeм видe пoкaзaнo, чтo ич влияниe нa чиcлo Peлeя являeтcя втopocтeпeнным и oни нe игpaют никaкoй poли в пepвoм пpиблизeнии мeтoдa Гaлepкинa. Taким oбpaзoм, кpитичecкoe знaчeниe чиcлa Peлeя для внyтpeннeй oблacти cлoя oпpeдeляeтcя c пoмoщью paзлoзeния выcшeгo пopядкa пpи зaдaннoм знaчeнии чиcлa Peлeя для внeшнeй oблacти. Пpeдcтaвлeны кaк aнaлитичecкиe, тaк и чиcлeнныe peшeния и пoкaзaнo, чтo чиcлeнныe peзyльтaты, пoлyчeнныe aппpoкcимaциeй шecтoгo пopядкa, coвпaдaют в пpeдeлaч 3,3% c двyччлeнным paзлoзeниeм и близки к тpeччлeннoмy. B чacтнocти пoкaзaнo, чтo пpи знaчeнияч σ ⩾ 2,45 × 105 пoлyчaютcя пoчти oдни и тe зe знaчeния чиcлa Peлeя для paзличныч кoмбинaций гpaничньч пoвepчнocтeй. Этoт нeoбычный peзyльтaт oбъяcняeтcя c пoмoшью тeopии Лэпвyдa.