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Averaging method for the solution of non-linear differential equations with periodic non-harmonic solutions

1974; Elsevier BV; Volume: 9; Issue: 6 Linguagem: Alemão

10.1016/0020-7462(74)90010-9

1878-5638

F. Ferdinand,

Geophysics and Gravity Measurements

While Krylov and Bogolyubov used harmonic functions in their averaging method for the approximate solution of weakly non-linear differential equations with oscillatory solution, we apply a similar averaging technique using Jacobi elliptic functions. These functions are also periodic and are exact solutions of strongly non-linear differential equations. The method is used to solve non-linear differential equations with linear and non-linear small dissipative terms and/or with time dependent parameters. It is also shown that quite general dissipative terms can be transformed into time-dependent parameters. As a special example, the Langevin (collisional) equation of motion of electrons in a neutralizing ion background under the influence of a time and space-dependent electric field is presented. The method may also be used for non-linear control theory, dynamic and parametric stabilization of non-linear oscillations in plasma physics, etc. Während Krylov und Bogoljubov bei ihrer Mittelungsmethode für die genährte Auflösung schwach nichtlinearer Differentialgleichungen mit schwingender Lösung harmonische Funktionen verwenden, wird in dieser Arbeit ein ähnliches Mittelungsverfahren unter Verwendung elliptischer Jacobifunktionen gebracht. Diese Funktionen sind ebenfalls periodisch und stellen exakte Lösungen stark nichtlinearer Differentialgleichungen dar. Die vorgeschlagene Methode wird dann dazu herangezogen, nichtlineare Differentialgleichungen mit kleinen linearen oder nichtlinearen dissipativen Termen und/oder mit zeitabhängigen Parametern zu lösen. Es wird auch gezeigt, daß sehr allgemeine dissipative Terme in zeitabhängige Parameter transformiert werden können. Als spezielles Beispiel wird die (stoßbedingte) Langevin'sche Bewegungsgleichung für Elektronen vor einem neutralisierenden lonenhintergrund unter dem Einfluß zeitlich und räumlich variabler elektrischer Felder gelöst. Die vorgeschlagene Methode kann auch für nichtlineare Regelungsprobleme, für dynamische und parametrische Stabilisierung nichtlinearer Schwingungen in der Plaamaphysik etc Verwendung finden. З цeлью яeшeния Злaбo нeлинeйныч диффeяeнциaльныч Уяaбнeний З oЗцилляциoнными яeшeниями пяимeнeн мeгoд oЗяeднeния, aнaлoгижный мeтoдУ Кяылoбa и Бoгoлюбoбa, oднaкo бмeЗтo гaямoнижeЗкич фУнкций иЗпoλьЗУютЗя эллиптижeЗкиe фУнкции Якoби, пoЗлeдниe ябляюoтЗя пeяиoдижeЗкими и тoжными яeшeниями Зильнo нeлинeйныч диффeяeнциaльныч Уяaбнeний. ПяeдлoЗeнный мeтoд пяимeняeтЗя для яeшeния нeлинeйныч диффeяeнциaльныч Уяaбнeний З линeйными и нeлинeйными мaлыми диЗЗипaтибными жлeнaми или З ЗaбиЗяшими oт бяeмeни пaяaмeтяaми. ПoкaЗaнo тaкЗe, жтo диЗЗипaтибныe жлeны бeЗьмa oбшeгo бидa мoгУт быть пяeбяaщeны б пaяaмeтяы, ЗaбиЗящиe oт бяeмeни. б кaжeЗтбe жaЗтнoгo ЗлУжaя яaЗЗмoтяeнo Уяaбнeниe. ЛaнЗeбeнa, oпиЗыбaюшee дбиЗeниe элeктяoнa нa нeйтяaлиЗУющeм йoннoм фoнe пoд дeйЗтбиeм eлeктяижeЗкoгo пoля, ЗaбиЗящeгo oт бяeмeни и пяoЗтяaнЗтбeнны. ч кooядинaт. Дaнный мeтoд мoЗнo тaкЗe иЗпoльЗoбaть б тeoяии нeлинeйнoгo Упяaблeния, б Зaдaжaч динaмижeЗкoй и пaяaмeтяижeЗкoй ЗтaбилиЗaции нeлинeйныч кoлeбaний б плaЗмe и б дяУгич Зaдaжaч.