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Zur klassischen theorie statistisch aufgebauter festkörpe

1973; Elsevier BV; Volume: 11; Issue: 1 Linguagem: Italiano

10.1016/0020-7225(73)90077-3

1879-2197

E. Kröner,

Elasticity and Material Modeling

Die vollständige makroskopische Beschreibung des Verhaltens von Festkörpern mit einem mikroskopisch ungleichmäβigen, zumindest teilweise ungeordneten Aufbau erfordert unendlich viele Funktionen. Diesen Zweck erfüllen die Korrelationsfunktionen des Materialtensors sowie der maβgeblichen Feld- und Quellgröβen. Die entscheidende Bedeutung des Ordnungsgrades wird am Beispiel der linearen Elastostatik demonstriert. Dabei wird angenommen, daβ der Körper lokal den Gesetzen der konventionellen Elastizitätstheorie folgt. Das Verhalten solcher “Zufallsmedien” kann in vier Kategorien gruppiert werden, die wir als primitiv lokal, primitiv nichtlokal, nichtprimitiv lokal und nichtprimitiv nichtlokal einstufen. Der Term primitiv bedeutet, daβ die mittleren Felder individuell aus einem geschlossenen Gleichungssystem ohne Heranziehen von Korreslationsfunktionen berechnet werden können. Damit dies möglich ist, muβ die Hillsche Bedingung 〈σϵ〉 = 〈σ〉〈ϵ〉 gelten, wo σ und ϵ den Spannungs- und Dehnungstensor darstellen. Diese Situation tritt in vielkristallinen Aggregaten und in Mehrphasensystemen dann, und nur dann, auf, wenn (1) eine Ergodenhypothese begründet werden kann, (2) die Zahl der Körner unendlich ist und (3) die Verteilung der Volumspannungsquellen, soweit solche vorhanden sind, nicht zu den lokalen Elastizitätsmoduln korreliert ist. Wenn die Materialparameter über endliche Distanzen korreliert sind, erhält man ein nichtlokales Antwortgesetz, das in der primitiven Situation die Standardform annimmt. Nur wenn der Aufbau des Körpers vollkommen ungeordnet und die Situation primitiv ist, gehorchen die mittleren Felder einem Antwortgesetz mit effektivem Materialtensor. Sind alle Korrelationsfunktionen der lokalen Materialparameter bekannt, so kann man einen Satz von mittleren Greenschen Funktionen berechnen, der es erlaubt, die gewünschten makroskopischen Felder durch die makroskopischen Quellen auszudrücken. The complete macroscopic description of the behaviour of bodies with a microscopically nonuniform, at least partially disordered constitution requires an infinito number of functions. This purpose is served by the correlation functions of the material tensor as well as those of the relevant field and source quantities. The crucial importance of the degree of order of the constitution is demonstrated through the example of linear elastostatics. It is assumed that the body behaves locally according to the laws of conventional elasticity theory. The behaviour of such “random media” can be classified into four categories which we refer to as primitive local, primitive non-local, non-primitive local and non-primitive non-local. The term primitive implies that the mean fields can be calculated individually from a closed system of equations without employing correlation functions. For this to be applicable it is necessary and sufficient that Hill's condition 〈σϵ〉 = 〈σ〉〈ϵ〉 be valid, where σ, ϵ, are respectively stress and strain tensor. This situation arises in polycrystals and multiphase materials if, and only if, (1) an ergodic hypothesis can be established, (2) the number of grains is infinite, and (3) distributions of volume stress sources, if present, are not correlated to the local elastic moduli. If the material parameters are correlated over finite distances one obtains a non-local response law which is of the standard form in the primitive situation. Only if the constitution of the body is perfectly disordered and the situation primitive do the mean fields obey a response law with an effective material tensor. If all correlation functions of the local material parameters are known then a set of average Green's functions can be calculated which allows to express the desired macroscopic fields in terms of the macroscopic sources. La description macroscopique complète du comportement de corps à constitution microscopiquement non-uniforme et au moins partiellement désordonnée, exige un nombre infini de fonctions. Ce but est servi par les fonctions de corrélation du tenseur matériel aussi bien que par celles du champ correspondant et des quantités de source. L'importance cruciale du degré d'ordre de la constitution est démontrée par l'exemple de l'élastostatisme linéaire. On suppose que le corps se comporte localement selon les lois de la théorie conventionnelle de l'élasticité. Le comportement d'un tel “moyen aléatoire” peut se classer en quatre catégories, que nous désignerons sous les termes de: primitif local, primitif non-local, non-primitif local, et non-primitif non-local. Le terme primitif implique que les champs moyens peuvent être calculés individuellement à partir d'un système fermé d'équations, sans employer de fonctions de corrélation. Pour pouvoir appliquer ceci, il est nécessaire et suffisant que la condition de Hill 〈σϵ〉 = 〈σ〉〈ϵ〉 soit valable, là où σ, ϵ sont respectivement tenseur de contrainte et tenseur de déformation. Cette situation survient dans des matériaux polycristaux et multiphâses si. et seulement si, (1) une hypothèse ergodique peut être établie, (2) le nombre des grains est infini. (3) des distributions de sources de contrainte tri-axiales, s'il y en a, ne sont pas correlées avec les modules élastiques locaux. Si les paramètres matériels sont correlés sur des distances finies, on obtient une loi de réponse non-locale qui est de la forme standard dans la situation primitive. Ce n'est que dans le cas où la constitution du corps est parfaitement désordonnée et si la situation est primitive, que les champs moyens obéissent bien à une loi de réponse comportant un tenseur matériel effectif. Si toutes les fonctions de corrélation des paramètres matériels locaux sont connues, alors une famille de fonctions moyennes de Green peut être calculée, qui permet d'exprimer les champs macroscopiques désirés en fonction des données macroscopiques. La compléta descrizione macroscopica del comportamento di corpi con una costituzione microscopicamente non uniforme e almeno parzialmente disordinata richiede un numéro infinito di funzioni. Questo scopo viene servito dalle funzioni di correlazione del tensore del materiale corne pure da quelle delie relative quantità di campo e di sorgente. L'importanza curciale del grado d'ordine della costituzione è dimostrato dall'esempio di elastostatici lineari. Si assume che il corpo si comporta localmente in base alle leggi della teoria di elasticità convenzionale. Il comportamento di questi “mezzi randomizzati” puo venire classificato in quattro catégorie allé quali ci riferiamo corne locale primitiva, non locale primitiva, locale non primitiva e non locale non primitiva. Il vocabolo primitivo significa che i campi medi possono venire calcolati individualmente partendo da un sistema chiuso di equazioni senza adoperare funzioni di correlazione. Per poter applicare tale impostazione è necessario e sufficiente che la condizione di Hill 〈σϵ〉 = 〈σ〉〈ϵ〉 sia valida, in cui σ, ϵ sono rispettivamente il tensore di sollecitazione e di deformazione. Tale situazione insorge nei policristalli e nei materiali multifase se. e solo se (1) si puó stabilire un'ipotesi ergodica, (2) il numero di grani è infinito. e (3) le distribuzioni delle sollecitazioni volumetriche, se presenti, non sono correlate ai moduli elastici locali. Se i parametri del materiale sono correlati su distanze finite si ottiene una legge di risposta non locale che è della forma standard della situazione primitiva. Solo se la costituzione del corpo è perfettamente disordinata e la situazione è primitiva, i campi medi obbedisconoa una legge di risposta con un tensore di materiale effettivo. Se tutte le funzioni di correlazione dei parametri locali del materiale sono note, allora una serie di funzioni medie di Green possono venire calculate, permettendo di esprimere i campi macroscopici desiderati in termini di sorgenti macroscopiche. Для пoлнoгo мaкpocкoпичecкoгo oпиcaния пoвeдeния тeл c микpocкoпичecки нeoднopoдным, чoтя бы чacтичнo paзuпopядoчeнным cтpoeниeм, тpeбueтcя бecкoнeчнoe кoличecтвo фuнкций. Для этoгo гoдитcя пpимeнeниe кoppeляциoнныч фuнкций и тeнзopa мaтepиaлa и cooтвeтcтвuющич вeличин пoля и иcтoчникa. Пpимep из элacтocтaтики пoкaжeт peшaющee знaчeниe cтeпeни uпopядoчeнqiя cтpoeния. Пpинятo, чтo лoкaльнoe (мecтнoe) пoвeдeниe тeлa пpoиcчoдит в cooтвeтcтвии c зaкoнaми oбычнoй тeopии eпpuгocти. Пoвeдeниe тaкич ⪡cлuчaйныч cpeд⪢ oтнocитcя к чeтыpeм клaccaм: пpимитивнo лoкaльнoe, пpимитивнo нeлoкaльнoe, нeпpимитивнo лoкaльнoe, нeпpимитивнo нeлoкaльнoe. Пpи этoм ⪡пpимитивнo⪢ знaчит вoзмoжнocть вычиcлeния cpeдныч пoлeй oтдeльнo из зaкpытoй cиcтeмы upaвнeний бeз иcпoльзoвaния кoppeляциoнныч фuнкций. в зтoм cлuчae нeoбчoдимoe и дocтaтoчнoe ucлoвиe ecть ucлoвиe Гиллa 〈σε〉 = 〈σ〉〈ε〉, гдe σ, ε тeнзopы нaпpяжeния и дeфopмaции cooтвeтcтвeннo. вoзникнoвeниe тaкoй oбcтaнoвки вoзмoжнo в пoликpиcтaллaч и пoлифaзныч мaтepиaлaч, ecли и гoлькo ecли (1) мoжнo ucтaнoвлять эpгoдичecкий гипoтeз, (2) имeeтcя бecкoнeчнoe кoличecтвo гpaнuл, (3) пpи нaличии иcтoчникoв oбБeмныч нaпpяжeний pacпpeдeлeния ич нe кoppeлиpuютcя c лoкaльными пpeдeлaми uпpuгocти. в cлuчae кoppeляции пapaмeтpoв мaтepиaлa пo кoнeчнoмu paccтoянию пoлuчитcя нeлoкaльный зaкoн peaкции, чтo имeeт cтaндapтнuю фopмu в пpимитивнoй oбcтaнoвкe. тoлькo в cлuчae coвepщeннoгo uпopядoчeния cтpoeния тeлa в пpимитивнoй oбcтaнoвкe пoдчиняютcя cpeдниe пoля зaкoнu peaкции c зффeктивным мaтepиaльным тeнзopoм. ecли извecтны вce кoppeляциoнныe фuнкции oт лoкaльныч мaтepиaльныч пapaмeтpoв, тo мoжнo вычиcлять cиcтeмu cpeднич фuнкций Гpинa, чтo пoзвoлит выpaжить зaдaнныe мaкpocкoпичecкиe пoля чepeз мaкpocкoпичecкиe иcтoчники.