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Preuve d'une conjecture de Hardy et Littlewood

1999; Elsevier BV; Volume: 328; Issue: 7 Linguagem: Francês

10.1016/s0764-4442(99)80246-8

1778-3577

Driss Essouabri,

Algebraic Geometry and Number Theory

Soient θ un nombre irrationnel quadratique positif et P, Q ∈ ℝX1, X2. On pose Zθ(P,Q;s)=σm1=1+∞σm2=1θm1 Q(m1,m démontré, sous des hypothèses assez fortes sur P (ellipticité), un théorème d'existence de prolongement méromorphe au plan complexe de telles séries. Le but de ce travail est de prouver un résultat aussi précis mais pour une classe de polynômes plus générale (dans un sens même optimal) et d'obtenir, comme application, une démonstration d'une conjecture de Hardy-Littlewood ([6], [5]) concernant l'existence et les propriétés du prolongement méromorphe de la série de Dirichlet: ζ0k(s)=∑n=1+∞Bk(θn)ns. où Bk(t)=bk(t)=bk(t-[t]) est la k-ième fonction de Bernoulli. Nous donnons aussi une extension faible du théorème de Mahler au cas où θ est un nombre algébrique quelconque. Let θ>0 be an irrational quadratic number, and P, Q ∈ ℝX1, X2. Set Z0(P, Q;s)= σm2=1+∞ σm2=1θm1 Q(m1,m2)P−s(m1,m2). In 1930, K. Mahler [8] proved the existence of a meromorphic continuation to the complex plane of such series, under strong assumptions on P (P elliptic). In this work, we prove a precise result generalizing Mahler's one under more general, and probably optimal assumptions, on P and Q and obtain, as an application, a proof of Hardy and Littlewood's conjecture ([6], [5]) concerning the meromorphic continuation of the series: ζ0k(s)=∑n=1+∞Bk(θn)ns. when Bk(t)=bk(t)=bk(t−[t]) is the k-th Bernoulli's function. We also give a weak extension of Mahler's result to the case when θ is an irrational algebraic number.