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Repr\'esentations unitaires des groupes symplectiques

1972; Mathematical Society of Japan; Volume: 24; Issue: 2 Linguagem: Francês

10.2969/jmsj/02420232

1881-1167

par Masahiko SAITO,

Advanced Topics in Algebra

Regu le 31 ao\^ut 1971) \S 0. Introduction.On se propose dans ce m\'emoire de construire plusieurs s\'eries de repr\'esen- tations unitaires des groupes symplectiques sur un corps auto-dual.Soit $K$ un corps commutatif localement compact dont le groupe additif est auto-dual.Tanaka [7] et Shalika [5] ont construit toutes les repr\'esentations unitaires irr\'eductibles de $SL(2, K)=Sp(2, K)$ .Ce travail est un essaie de g\'en\'eraliser leurs r\'esultats \'a un groupe symplectique quelconque $C_{n}=Sp(2n, K)$ .La construction de Tanaka et Shalika repose sur la m\'ethode d\'evelopp\'ee par A. Weil [8], que nous suivrons aussi.Soit $\Phi$ une forme quadratique non d\'eg\'en\'er\'ee sur $K^{n^{\prime}}$ .On construit d'abord une repr\'esentation projective unitaire $U^{\Phi}$ de $G_{n}$ d\'ependant de $\Phi$ .On montrera ensuite que $U^{\mathcal{O}}$ provient d'une repr\'esentation lin\'eaire unitaire $O^{\rho}$ de $G_{n}$ sous une certaine condition.Cette condition est vide pour le corps des nombres complexes et les corps finis, et est la parit\'e de $n^{\prime}$ pour le corps des nombres r\'eels et les corps p-adiques.Dans le dernier paragraphe, on se restreint au cas o\'u $K=R,$ $\Phi=E$ (unit\'e) et $n\leqq n^{\prime}$ , et d\'ecompose la repr\'esen- tation $ O\emptyset$ suivant les repr\'esentations irr\'eductibles du groupe orthogonal $O(n^{\prime})$ .Les repr\'esentations ainsi obtenues sont d\'efinies sur l'espace des fonctions vectorielles sur l'espace $\mathfrak{S}_{+}$ des matrices sym\'etriques positives d'ordre $n$ et de carr\'e int\'egrable par rapport \'a une mesure de Radon.Si $n=n^{\prime}$ , ces repr\'esen- tations sont toutes irr\'eductibles.On fixe les notations dans \S 1.On construira dans \S 2 les repr\'esentations projectives unitaires $U^{\Phi}$ dans l'espace des fonctions de carr\'e int\'egrable sur l'espace $\mathcal{M}$ des matrices \'a $n$ lignes et $n^{\prime}$ colonnes sur $K$ .Ici, on a suivi une m\'ethode un peu diff\'erente de celle de Weil.On donnera aussi la forme explicite de l'op\'erateur pour certains \'el\'ements typiques de $G_{n}$ .Dans \S 3, on d\'efinit, pour une matrice sym\'etrique inversible $A$ , le nombre $\Omega(\Phi, A)$ , qui repr\'esente le facteur cohomologique de projectivit\'e de la repr\'esentation $U^{\phi}$ .Deux lemmes seront d\'emontr\'es qui permettent de r\'eduire le calcul de $\Omega$ au cas simple.On reproduira aussi le r\'esultat sur la classification des formes quadratiques.Ici et dans le reste du m\'emoire, on suppose $n^{\prime}$ pair pour le corps des nombres r\'eels et les corps p-adiques.