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Multiple coordinate perturbations for secular problems with two small parameters

1975; Elsevier BV; Volume: 13; Issue: 5 Linguagem: Inglês

10.1016/0020-7225(75)90021-x

1879-2197

Pierre-Antoine Bois,

Differential Equations and Numerical Methods

In order to study equations of the form ƒ (u) = ϵƒ(u) − ηg(u), a perturbation method is proposed that allows to construct a parametric solution in multiple variables. This solution is obtained by applying the Poincaré-Lighthill method to the perturbation in η and that of multiple scales to the perturbation in ϵ. The method is then applied to two examples: a damped oscillator with a nonlinear restoring force and a progressive wave in a gas in presence of gravity. A criterium for shock formation is given in the last problem. Finally a derivation is given, which provides sufficient conditions to obtain the proposed parametric solution. Pour étudier des équations de la forme Λ(u) = ϵƒ(u) + ηg(u) on propose une méthode de perturbation permettant de construire une solution paramétrique en variables multiples. Cette solution s'obtient en appliquant la technique de Poincaré-Lighthill à la perturbation en η, celle des échelles multiples à la perturbation en ϵ. On applique la méthode à deux exemples: un oscillateur amorti avec force de rappel non linéaire, et une onde progressive dans un gaz pesant. On établit pour ce dernier problème un critère de formation d'onde de choc. Une démonstration est effectuée pour terminer, donnant des conditions suffisantes pour obtenir le paramétrage proposé. Per studiare le equazioni della formula Λ(u) = ϵƒ(u) + ηg(η), è proposto il metodo di perturbazione ehe permette di impostare una soluzione parametrica in variabili multiple. La soluzione si ottiene applicando il metodo Poincaré-Lighthill alla perturbazione in η ed il metodo delle scale multiple alla perturbazione in ϵ. Il metodo viene successivamente applicato a due esempi: un oscillatore smorzato con forza di ripristino non lineare ed un'onda progressiva in un gas, in presenza della gravita. Il criterio per la formazione degli urti viene fornito nell'ultimo problema. Per ultimo, viene fornita una derivazione che fornisce condizioni sufficienti per ottenere la proposta soluzione parametrica. Um Gleichungen in der Form Λ(u) = ϵƒ(u) + ηg(u) zu untersuchen, wird eine Störungsmethode vorgeschlagen, die erlaubt, eine parametrische Lösung in vielfachen Veränderlichen zu konstruieren. Diese Lösung wird durch Verwendung der Poincaré-Lighthill Methode bei der Störung in η und einer Vielfachreihenmethode bei der Störung in ϵ erhalten. Das Verfahren wird dann bei zwei Beispielen angewandt: einem gedämpften Oszillator mit einer nicht-linearen Rückstellkraft und einer Wanderwelle in einem Gas bei Vorhandensein von Schwerkraft. Ein Kriterium für Stoβbildung wird in dem letzten Problem gegeben. Abschlieβend wird eine Ableitung gegeben, welche genügend Bedingungen zum Erhalt der vorgeschlagenen parametrischen Lösung gibt. Для изyчcния ypavнcний типa Λ(u) + ϵƒ(u) + ηg(u), пpecдпpлpжeн п пepтypбaциpнный мeтд, кpтppый пpзvpлт пpcтppить пapaмeтpичecкpe peшeниc pтнpcитeльнp кpaтпьч нepeмeнньч. pнp пpлyчeнp пpимeнeниcм мeтpдa Пyaнкapэ-Лeйтфyтa к пepтypбaцию pтнpcитeльнp η. и мcтpдa кpaтныч шкaл к пcpтypбaцию pтнpcитeльнp ε. Пpтpм мeтpд пpимeнeн к дvyм нpимepaм: дcмпфиppvaнный pcциллятpp c нeлинeйнpй vpccтaнpvитeльнpй cилpй, бeгyщaя vpлнa v гaзpvpй cpeдe нpи дeиcvии тягpтecния. v пpcлeдиpй зaдaчe дaн кpитcpии pбpaзpvaния yдappv. зaключитeльнp дaeтcя vыvpл, pбecпeчaюий дpcтaтpчныe ycлpvия для пpлyчeния пpeдпpлpюжcннpгp пapaмeтpичecкpгp pcшcния.