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Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique

1881; Société Mathématique de France; Volume: 10; Linguagem: Francês

10.24033/asens.207

1873-2151

Édouard Goursat,

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems

INTRODUCTION.1. La série hypergéométrique F(a, ?, y, x), considérée comme fonction de son quatrième élément a?, n'est définie que pour les valeurs de la variable d^un module inférieur à l'unité.Pour la définir pour des valeurs quelconques de ^ on doit la considérer comme une intégrale particulière d'une équation différentielle linéaire du second ordre; la question revient à trouver ce que devient cette intégrale quand le chemin suivi par la variable aboutit a un point situé en dehors du cercle de rayon i décrit de l'origine comme centre-Par une généralisation qui s'offre d'elle-même, on est alors conduit à se poser le même problème pour une intégrale quelconque de cette équation, le chemin suivi par la variable étant simplement assujetti à ne passer par aucun des points critiques qu'elle présente.Cette équation célèbre, étudiée par Gauss( 1 ) et Kummer ( 2), admet,( 1 ) GEwefî campîèteff, t.ïtï, p. '207.(2) Jo^nni de.Crelle, t.XV, p. 39. S. 4É * GOURSAT.comme l'a montré ce dernier, vingt-quatre intégrales de la formeoù z est l'une des variables x, i -x, --? --, -'--5 1 ---5 pourvu oc i -se, se "-i **» qu'aucun des nombres 7, y -a --|3, | 3 -a ne soit un nombre entier.Dans le même travail, Kummer a donné les relations linéaires à coefficients constants qui existent entre trois quelconques de ces intégrales; mais, cet émincnt géomètre s'étant placé uniquement au point de vue des valeurs réelles de la variable/les formules qu'il a obtenues présentent quelques difficultés quand on veut passer aux applications, d'autant plus qu'il n'a pas toujours précisé suffisamment le sens de ses intégrales.Supposons, en effet, qu'on veuille passer d'une valeur de x réelle, positive et inférieure à l'unité, à une valeur de x réelle, positive et supérieure à l'unité; cela ne pourra se faire en attribuant à la variable une suite de valeurs toutes réel les, puisqu'on ne peut passer par le point,r===i, qui est un point critique pour l'équation différentielle.Il faudra donc attribuer à x une suite de valeurs imaginaires, ce que l'on pourra faire d'une infinité de manières, et, la valeur finale de la fonction dépendant essentiellement de la loi de succession des valeurs de la variable, on voit qu'il est nécessaire, pour l'objet que l'on se propose, d'introduire la considération des valeurs imaginaires dans l'équation différentielle.La théorie générale de cette équation, quand on n'apporte ainsi aucune ^striction aux valeurs de la variable, n'a pas été faite jusqu'ici d'une manière complète, du moins à ma connaissance* Je dois rappeler cependant que M. Tannery ( < ) a montré qu'en appliquant les principes posés par M. Fachs ( â ) pour la théorie des équations différentielles linéaires on retrouvait les intégrales de Kummer; dans un autre Mémoire ( 3 ), il a déterminé les relations linéaires entre les intégrales pour un exemple numérique, déjà étudié par M. "Fuchs ( /< ).Les résultais obtenus concordent avec ceux que l'on déduit du cas général.