Produção Nacional
Solução do Problema de Pêndulo Oscilante com o Método das Diferenças Finitas
2014; Linguagem: Português
10.5540/03.2014.002.01.0075
ISSN2359-0793
AutoresGabrielle Piezzoti Oliveira, Adilandri Mércio Lobeiro, Clícia Geovana Alves Pereira, Juan Amadeo Soriano Palomino,
Tópico(s)Experimental and Theoretical Physics Studies
ResumoPraticamente todos os engenheiros são confrontados por problemas relacionados ao movimento periódico de corpos livres. Um exemplo simples é um pêndulo oscilante, onde uma partícula de peso W está presa a uma haste sem peso, de comprimento l. Quando a partícula é solta, formando um ângulo inicial θ0 com a vertical, oscila de um lado para o outro com período T [1]. As únicas forças agindo na partícula são a gravidade g e a tensão R na haste, como apresentado na Figura 1. Figura 1: Pêndulo Oscilante Ao aplicar as Leis de Movimento de Newton, deduz-se a seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO) d2θ dt2 g l sin θ 0 , (1) em que θ é o ângulo de deslocamento do pêndulo [1]. Observa-se que a massa m não aparece na equação, pois o movimento de um pêndulo não depende de sua massa. A equação (1) é uma EDO Não-Linear, pela presença do termo sin θ, o que impõe dificuldades para se obter sua solução analítica. Para pequenos deslocamentos angulares, no entanto, sin θ é, aproximadamente, θ, sendo este expresso em radianos. Portanto, nesse caso, a equação (1) se torna linear e assume a forma d2θ dt2 g l θ 0 . (2) bolsista de Iniciação Científica PICME, CNPq/Capes O objetivo deste trabalho é obter as soluções analítica e numérica de um Problema de Valor de Contorno (PVC) para um estudo de caso de um Pêndulo Oscilante. Para isso, considera-se l 0.6096m, g 9.800665m/s2 e as condições de contorno θ(0) pi/8 e θ(10) pi/8. Obtém-se então o PVC d2θ dt2 g l θ θ(0) pi8 e θ(10) pi 8 , (3) cuja solução analítica é θ(t) 1 8 pi ( cos ( 402175607 500 ) 1 ) sin ( 402175607x 5000 ) sin ( 402175607 500 ) pi 8 cos ( 402175607x 5000 ) . (4) Para a solução numérica, o algoritmo em MATLAB usado, que implementa o Método das Diferenças Finitas, é dado a seguir. Código 1: Método de Diferenças Finitas - MATLAB syms x %w’’ p(x)w’ q(x)w r(x), [a,b] dados inputdlg ({’P: ’, ’Q: ’, ’R: ’, ’n: ’},’Dados ’); limites inputdlg ({’a: ’, ’f(a): ’, ’b: ’, ’f(b): ’},’PVC’); passo (str2num(limites {3}) - str2num(limites {1}))/str2num(dados {4}); xVector str2num(limites {1}) : passo : str2num(limites {3}); %Sistema matricial: Aw d. Obtendo a matriz tridiagonal A: a(1) 2 (passo 2)*subs(dados {2},x,xVector (2)); %diagonal principal b(1) -1 (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector (2)); %diagonal superior d(1) -(passo 2)*subs(dados {3},x,xVector (2)) ((1 (passo /2)*subs( dados {1},x,xVector (2)))*str2num(limites {2})); for i 2: length(xVector)-3 a(i) 2 (passo 2)*subs(dados {2},x,xVector(i1)); b(i) -1 (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector(i1)); c(i) -1 - (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector(i1)); %inferior d(i) -(passo 2)*subs(dados {3},x,xVector(i1)); end a(i1) 2 (passo 2)*subs(dados {2},x,xVector(i2)); c(i1) -1 - (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector(i2)); d(i1) -(passo 2)*subs(dados {3},x,xVector(i2)) ((1 - (passo /2)*subs (dados{1},x,xVector(i2)))*str2num(limites {4})); %Fatoraçao LU l(1) a(1); u(1) b(1)/a(1); z(1) d(1)/l(1); for i 2: length(xVector)-3 l(i) a(i) - (c(i)*u(i-1)); u(i) b(i)/l(i); z(i) (d(i) - (c(i)*z(i-1)))/l(i); end l(i1) a(i1) - (c(i1)*u(i)); z(i1) (d(i1) - (c(i1)*z(i)))/l(i1); %Resolvendo o sistema w(1) str2num(limites {2}); w(length(xVector)) str2num(limites {4}); w(length(xVector) -1) z(length(xVector) -2); for i length(xVector) -2: -1 : 2 w(i) z(i-1) - (u(i-1)*w(i1)); end A ideia do Método é substituir as derivadas da EDO pelas fórmulas de Diferenças Centradas. O intervalo trabalhado é discretizado, no caso, para [0, 10] foi usado passo h 0.01, formando um sistema de equações de ordem 999 999 para as aproximações θi em cada um dos pontos. O algoritmo gera esse sistema, cuja matriz de coeficientes é tridiagonal e, para sua resolução, aplica Fatoração LU [2]. A Figura 2 apresenta os gráficos de ambas as soluções. Figura 2: Soluções Gráficas Com as soluções gráficas fica claro a proximidade entre os valores numéricos e os analíticos. A Tabela 1 apresenta uma comparação mais clara para alguns dos pontos calculados. Tabela 1: Resultados e Erro i xi θi θ(xi) Erro absoluto 0 0 0.3926990817 0.3926990817 0 200 2 0.9313500208 0.9445509565 0.0132009357 400 4 -0.7001842363 -0.7081023307 0.0079180944 600 6 -0.7001842363 -0.7081023307 0.0079180944 800 8 0.9313500208 0.9445509565 0.0132009357 1000 10 0.3926990817 0.3926990817 0 O método provou sua eficiência, pois realmente aproximou a solução numérica à analítica.
Referência(s)