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Transformacao de Mobius no Plano Complexo

2013; Linguagem: Português

2639-6459

Jose Miguel Bezerra Filho,

graph theory and CDMA systems

In this work, we study the set of complex numbers as points of the plane. We relate this set with the group of symmetric matrices of order 2. Moreover we study some transformations on the plane emphasizing the Mobius Transformation. Sumario 1 Numeros Complexos 12 1.1 Aspectos Historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 O plano de Argand-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 A Forma Matricial de um Numero Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 A Forma Algebrica de um Numero Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 A Forma Polar ou Trigonometrica de um Numero Complexo . . . . . . . . 18 1.6 Propriedades Operatorias dos Numeros Complexos . . . . . . . . . . . . . 20 2 Transformacoes no Plano Complexo 35 2.1 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Simetria ou Reflexao em Relacao a Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Simetria ou Reflexao em Relacao ao eixo OX . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5 Simetria ou Reflexao em Relacao ao eixo OY . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Homotetia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.7 Cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.8 Transformacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.9 Transformacoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.10 A transformacao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.11 Transformacao de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.11.1 Projecao Estereografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.11.2 Plano complexo estendido e esfera de Rieman . . . . . . . . . . . . 49 2.12 As tranformacoes de Schirnhausen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8 3 Alguns Subconjuntos Notaveis e Aplicacoes em C 60 3.1 A Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 A Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 A Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4 A Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5 A Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6 Usando a Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4 Atividades para Sala de Aula Relacionadas a Numeros Complexos e Transformacoes 71 4.1 Operacoes com numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2 Uso das transformacoes para representar movimentacao no plano . . . . . . 73 4.3 Representacao de algumas curvas algebricas no plano complexo . . . . . . . 79 4.4 Uso de transformacoes do plano complexo para resolver equacoes polinomiais 84 5 Conclusao 90