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Propriedade do divergente para campos vetoriais não diferenciáveis em duas zonas

2015; Linguagem: Português

10.5540/03.2015.003.01.0028

2359-0793

João C. Medrado, Joan Torregrosa,

Advanced Differential Geometry Research

engenharia, biologia, Teoria do Controle, design de circuitos elétricos, sistemas mecânicos, ciências econômicas e medicina, geralmente envolvem campos vetoriais não diferenciáveis.Uma ferramenta importante e simples para a descrição destes modelos é o estudo de campos vetoriais lineares definidos por partes.Em [1,7] tem-se uma boa coleção de modelos e aplicações reais envolvendo esta classe de campos vetoriais.Tipicamente, esta classe de sistemas é obtida usando dois ou mais campos vetoriais lineares que são definidos em diferentes regiões separadas por conjuntos de descontinuidade.Em particular, um circuito tendo uma chave ideal pode ser modelado com um sistema linear planar por partes, veja seção 1.1.7de [1].Interessante observar que os sistemas diferenciais planares lineares são completamente estudados usando somente álgebra linear e eles não apresentam órbitas periódicas isoladas, chamados ciclos limite.Entretanto, ao estudarmos estes sistemas definidos em duas zonas, encontramos hoje na literatura exemplos com 4 ciclos limite, ou seja, os problemas envolvendo estes campos vetoriais ensejam um tratamento diferenciado e novo.A classificação dos diferentes retratos de fase de campos vetoriais não diferenciáveis ou a determinação do número máximo de ciclos limite são problemas abertos, mesmo quando o número de regiões é pequeno, dois em nosso caso.A existência de pontos singulares reais e/ou virtuais, conexão de separatrizes, órbitas periódicas isoladas, são problemas novos neste contexto, e mais, têm-se uma maior riqueza de retratos de fase mesmo para a classe de campos vetoriais lineares por partes em relação ao campos vetoriais lineares definidos em uma região.Uma importante ferramenta estudar a existência ou estabilidade de uma órbita periódica de campo vetorial diferenciável, é o cálculo da integral do divergente de um campo vetorial ao longo de uma órbita periódica, veja [8].Para campos vetoriais não diferenciáveis em duas zonas, esta propriedade não pode ser usada quando a órbita periódica intersecta a linha de descontinuidade e desta forma para estudarmos a estabilidade destas órbitas para campos vetoriais não diferenciáveis,