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The power of averaging at two consecutive time steps: Proof of a mixing conjecture by Aldous and Fill

2017; Institute of Mathematical Statistics; Volume: 53; Issue: 4 Linguagem: Francês

10.1214/16-aihp782

1778-7017

Jonathan Hermon, Yuval Peres,

Gene Regulatory Network Analysis

Soit $(X_{t})_{t=0}^{\infty}$ une chaîne de Markov en temps discret, irréductible et réversible, à valeurs dans un espace d’états fini $\Omega$. Soit $P$ sa matrice de transition. Pour éviter les problèmes de périodicité (et ainsi garantir la convergence vers l’équilibre), on considère souvent la version à temps continu $(X_{t}^{\mathrm{c}})_{t\ge0}$, dont le noyau est donné par $H_{t}:=e^{-t}\sum_{k}(tP)^{k}/k!$. Une alternative consiste à considérer la chaîne moyennée $(X_{t}^{\mathrm{ave}})_{t=0}^{\infty}$, dont la loi au temps $t$ est obtenue en remplaçant $P^{t}$ par $A_{t}:=(P^{t}+P^{t+1})/2$. Pour une suite de chaînes de Markov, on parle de cutoff (en variation totale) lorsque la convergence à l’équilibre (mesurée par la distance en variation totale) est abrupte. Soit $(X_{t}^{(n)})_{t=0}^{\infty}$ une suite de chaînes irréductibles et réversibles à temps discret. Dans ce travail, nous montrons que la suite de chaînes à temps continu associées satisfait un cutoff en variation totale au temps $t_{n}$ si et seulement si la suite de chaînes moyennées associées satisfait un cutoff en variation totale au temps $t_{n}$. De plus, nous montrons que la largeur de la fenêtre de cutoff pour la suite de chaînes moyennées est majorée par celle de la suite de chaînes à temps continu. Nous établissons en fait des relations quantitatives plus précises entre les temps de mélange de la version moyennée et de la version à temps continu d’une chaîne de Markov réversible quelconque. Cela répond de manière affirmative à une question soulevée par Aldous et Fill [2002, Open Problem 4.17].