Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques
1883; Société Mathématique de France; Volume: 12; Linguagem: Francês
10.24033/asens.220
ISSN1873-2151
Autores Tópico(s)Differential Equations and Numerical Methods
ResumoJe considère, dans ce travail, une équation différentielle linéaire homogène cl" 1 y ^M~ly cl^-^Y p ^ = ^ ^pl d^ +/;2 d^ + -• ^p^=-à coefficients uniformes et périodiques, de même période ro, et dont l'intégrale générale est supposée uniforme.J'étudie la forme analytique des solutions.Si l'on faisait le changement de variable e i^..K•^/'^i on obtiendrait une transformée linéaire dont les coefficients seraient des fonctions uniformes de Ç. De l'expression connue de ses intégrales, dans le domaine d'un point singulier, on pourrait conclure, en posant 2 :: .r\f~~i g = e ( 1J , la forme des solutions de P(y) = o.Mais j'ai préféré aborder la question directement, sur l'équation P== o elle-même, d'autant plus que, pour suivre cette voie, il suffît de se reporter aux célèbres recherches de M. Fuchs, en adoptant une méthode identique à celle qui l'a guidé dans l'étude des intégrales autour d'un point singulier ( ! ).(i) Journal de Crelîe, t. 66. ' G. FLOQUET.J'obtiens ainsi un système fondamental S de solutions, lié à une certaine équation algébrique A ==o, analogue à l'équation fondamentale de M. Fuchs, et que j'appelle V équation fondamentale relative à la période c-o.Le premier membre A est un déterminant de degré m par rapport à rineonnue s.Les éléments du système S constituent autant de groupes que Féqualion fondamentale A •==-o a de racines distinctes, et, en appliquant le procédé exposé dans un important Mémoire de M. Hamburger ( j ), on peut facilement distinguer ces groupes en sonsgroupes indépendants les uns des autres.J'arrive en particulier aux conclusions suivantes :Je dis qu'une fonction uniforme ^{x} est une fonction périodique de seconde espèce, de période o), lorque l'on a S{X"\~ co) =:s-î(^)y le multiplicateur £ étant une constante.Si s == ï, la fonction est périodique; elle est dite aussi périodique de première espèce.( 1 ) Journal de Crelle, t, 76. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRESA COEFFICIENTS PÉRIODIQUES.4 e ) î. -• Équation fondamentale» 1. Désignons par/, {x], /^(^ • • • • > fmÇ^) m solutions distinctes de réquation P == Oç choisies arbitrairement.Si l'on fait décrire à la variable un chemin quelconque allant du point x au point «r 4-GJ, 'les fonctions unifornies/'( des valeurs déterminées/i [x 4-oo), ^(<r4~'^), ... 9 fm{sc -\-oo), landis que les coefficients périodiques de P == o reprennent leurs valeurs initiales p^p^, ... ,^.D'où je conclus que/i(.r4-oe),y^(^ 4-oo), ... 3 fm^ •+ •^) sont aussi des intégrales de P == o, constituant un système évidemment fondamental.On a donc /^-hco) ==An/i(^) -4-Ai2/20) -4-. ..-4-Ai^/,/,(^), f^x-^-^')
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