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Sur les fonctions hyperfuchsiennes provenant des séries hypergéométriques de deux variables

1885; Société Mathématique de France; Volume: 2; Linguagem: Francês

10.24033/asens.267

1873-2151

Émile Picard,

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems

On sait que les intégrales / ^-i ( u ^ ,i )^-i ( u -x ) À -1 du, Jô ù g et h désignent deux des quantités o, i, ce et co ^ satisfont à une équation linéaire du.second ordre E; c'est, aux notations près, l'équation qui donne la série hypergéométrique.Dans son célèbre Mémoire sur l'intégration algébrique de cette équation [Journal de Crelle, t. 75), M. Schwarz signale incidemment un cas particulier remarquable : c'est celui où les trois expressions Â4-&i-~-ï, À-4-^â-i, bi+b^-i seraient toutes trois égales respectivement à l'inverse d'un nombre entier positif; dans ce cas, si l'on désigne paro^ etco^ deux intégrales de l'équation E, la relation ïl 0)l donnera pour x une fonction uniforme de z.Ces fonctions^ définies seulement à l'intérieur d'un cercle, rentrent dans la classe de ces fonctions uniformes d'une variable, que M. Poincaré a désignées sous le nom de fonctions fuchsiennes.358 É. PICARD.Envisageons maintenant les intégrales hypergéométriques de deux variables r 11 ^ ^ -l ( u _ ^"l ( u -^)P-i ( ^ -y^-l A/, t/ ?où g et À désignent deux des quantités o, i, £y, y et co .Ces fonctions de ^ et y satisfont à un système S de trois équations linéaires aux dérivées partielles, ayant trois solutions communes linéairement indépendantes; c'est ce qu'on peut voir dans mon travail sur une extension aux fonctions de deux variables du problème de Riemann, relatif aux séries hypergéométriqoes [Annales de V Ecole Normale, 1881), et, en se plaçant; à un autre point de vue, M. Appell a aussi rencontré ce système S d'équations aux dérivées partielles clans son Mémoire sur les fonctions hypergéométriques de deux variables [Journal de Mathématiques, 1881).Désignons par o><, o^, ci^ trois solutions linéairement indépendan (es du système S et formons les équations û^ " , ^ ĥ ^i Je me suis proposé de rechercher les cas analogues à ceux de M. Schwarz, où ces deux équations donnent pour x et y des fonctions uniformes de s et t.Ces cassent ceux où, considérant deux quelconques des quantités )i, p., hi et bŝ oit, par exemple, \ et &,, la différence À.4-^i-i 1 est égale à l'inverse d'un nombre entier positif; de plus, si l'on prend trois quelconques des mêmes quantités, soit, par exemple, 1, ^ et hl a différence 3 ^ y "" ^ _ ŝera égale encore à l'inverse d'un nombre entier positif.Les fonctions uniformes x et y de z et de t, données alors par les équations ,