Recherches sur les transcendantes de M. Painlevé et l'étude asymptotique des équations différentielles du second ordre
1913; Société Mathématique de France; Volume: 30; Linguagem: Francês
10.24033/asens.661
ISSN1873-2151
Autores Tópico(s)Differential Equations and Numerical Methods
ResumoM. Painlevé a^ comme on sait, résolu le problème suivant : « Déterminer toutes les équations difïerentielles du second ordre /^in/,^), où R est rationnel en y', algébrique en y, analytique en Xy dont l'intégrale est uniforoie ou, plus généralement, a ses points critiques fixes.» Les Tableaux d'équations publiées en 1900 par M. Painlevé ont dû être complétés par M. (xambier; mais sa méthode épuise la ( l ) Mémoire couronné par FAcadémie des Sciences (Grand prix des Sciences mathématiques, 191%).258 P. ROUTROUX.^ 3 _ que le changement de variables X == -x 2 , y == \/^ Y, transforme en 0 ' (A-; r+^^Y^+i.Les fonctions de Bessel Y(X) sont asymptotes aux fonctions tang (X -X.(,) intégrales de Y'^Y-'+i : l'étude de cet asym'ptotisme fera l'objet de notre première Partie.Considérons pareillement l'équation (B) j^ôy-ô.z 1 , que le changement de variables X, == ^^\ y === \ArY transforme en (B/) ^-^-â^6^-6 ' nous verrons que.les intégrales de (B') peuvent être caractérisées comme fonctions asymptotes aux intégrales deY^^ 6'Y^ ~ 6. Parei llernent Féq iia( ion ( C ) y" = a j • ;i -a xy -h ^ o, que le changeinent de variablesy == v^Y/X^ j.T 2 transforme en (c ') ^--^-î--^-^a ses intégrales asymptotes aux intégrales de Y^r^ 2"Y 3 -2"Y.Et ainsi de suite {voir notre quatrième Partie).Les propriétés asymptotiquesdes intégrales Y(X) que nous mettrons en lumière ne sont pas toutes, nous l'avons dit/propriétés exclusives de fonctions uniformes ou de fonctions à points critiques fixes.Ainsi, par exemple, pour étudier asymptotiquement l'équation CB') et la comparer à V=:()'V 2 -6, 51, est utile, sinon nécessaire, d'introduire dans l'équation un paramètre (x, et variant à partir de zéro.C'est, ainsi que, pour étudier l'équation (A), nous considérerons l'équation plus générale (A^/A") 'y'-^ -y^^-..yP^P. BOUTHOUX.Écrivons l'équation ÇA.' bis) sous la forme •T+^^Y^+i : cette équation admet une intégrale Y,^ holomorphe et une intégrale Y;m éromorphe à l'origine.Ces intégrales sont liées par la relation Y-Y ^ ' 2P ~ l 1 2 p -1 1 ( i -// ) "'' -'Y-~ 5 et Y,^ se développe sous la tonne a^X 4-a.-^X 3 -4" ..., où a^(ï -4-9.?) =: ï, a;^(3 4-9.p) -== a'f^, ^;;,,(5 + '2^) =: ^a^^a,^ .... Ecrivons seniblablemenfc l'équation (B'te') sous la forme Y^,l.-//^4-•n^=:r)Y a -6; eette équation admet une intégrale Y^,/^,/) holoniorphe et une intégrale ^^m.n] mérornorphe à l'ori^iriK 1 .Ces intégrales sont liées par la relation v -v , G + /^-^/1à (m-i n)--• ï i (//it,4/«-/i-i2) ""'" •~--1 -1 -ll •.,:.l ••;y l ^--1 --111 -111 ' i
Referência(s)