Testing the converse of Wolstenholme’s theorem
2001; Sociedade Brasileira de Matemática; Volume: 21; Issue: 16 Linguagem: Inglês
10.21711/231766362001/rmc2116
ISSN2317-6636
AutoresVilmar Trevisan, Kenneth Weber,
Tópico(s)History and Theory of Mathematics
ResumoA dassical result of Wolstenholme in 1862 shows that if p ~ 5 is a prime number then ( 2 P1 ) = 1 (mod p 3 ). p-1 Its converse, stating that a natural p satisfying this congruence is necessarily a prime number, is commonly believed to be true, although no proof has been given so far. In this note, we present an elementary proof of a partial result, namely, that the converse is true for even numbers and for powers of 3. F\trtherj we prove that if n == pl is a prime power then (2n1) = (2p1) (mod p4 ), n-1 p-1 producing a relatively inexpensive converse test for powers of odd prime numbers. Resumo Um resultado classico de Wolstenholme mostra que se pe um numero primo, entao (2p -1) = 1 (mod p 3 ). p-1 A reciproca desse teorema, indicando que um numero natural p satisfazendo a congruencia e necessariamente um numero primo, embora acredita-se verdadeira, ainda nao tem uma prova. Nesta nota, apresentamos uma prova elementar de um resultado parcial; especificamente, que a reciproca e verdadeira para numeros pares e para potencia.'> de 3. Alem disso, provamos que se n = r} e uma potencia de um primo, entao (2n -1) = (2p1) ( 4 ) 1 _ 1 mod p , npque e um teste eficiente para test<:u a reciproca de potencia de primos impares. AJVIS Classification .\'umbcrs: llYll, 11A51, 11-04 276 V. TREVISAN K. vVEBER
Referência(s)