Portal de Periódicos da CAPES

Asymptotic arbitrage in non-complete large financial markets

1996; Mathematical Institute. V.A. Steklov Russian Academy of Sciences; Volume: 41; Issue: 4 Linguagem: Russo

10.4213/tvp3284

2305-3151

Irene Klein, Irene Klein, Walter Schachermayer, Walter Schachermayer,

Stochastic processes and financial applications

Ю. M. Кабанов и Д. О. Крамков ввели понятие «больших финансовых рын ков».Вместо того, чтобы рассматривать -как это обычно делается в финан совой математике -некоторый случайный процесс S цен акций, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве (Q,!F, (^) 1 фильтрованных вероятностных пространств.Та кая модель оправдывается тем, что инвестор может делать вклады не на одной, а на нескольких фондовых биржах (в модели Кабанова и Крамкова -на счетном числе).Привычное понятие арбитража тогда можно интерпретировать с помощью понятий асимптотического арбитража, где важно различать между собой два ро да асимптотического арбитража, введенные Кабановым и Крамковым.В случае, когда для каждого п £ N рынок полон (т.е.существует единственная «локально мартингальная» мера Q n для процесса S" на Т п , эквивалентная Р"), Кабанов и Крамков показали, что контигуальность (Р")п>1 относительно (Q n )n^l (со ответственно, наоборот) эквивалентна отсутствию асимптотического арбитража первого (соответственно, второго) рода.В настоящей статье мы распространяем этот результат на случай неполного рынка, когда для каждого п £ N множество эквивалентных локально мартингаль ных мер непусто, но не обязательно одноэлементно.Возникает вопрос, можно ли перенести на этот случай теорему Кабанова и Крамкова, выбирая подходящую последовательность (Q n )n^l эквивалентных локально мартингальных мер.Оказывается, что в части, характеризующей асимптотический арбитраж пер вого рода, теорема может быть непосредственно перенесена на этот случай, однако в части, характеризующей асимптотический арбитраж второго рода, необходимы некоторые изменения.Мы также строим пример, показывающий, что этих изме нений нельзя избежать.Ключевые слова и фразы: арбитраж, асимптотический арбитраж, контигу альность мер, эквивалентная мартингальная мера, «бесплатный завтрак», «бес платный завтрак с исчезающе малым риском», большие финансовые рынки.Introduction.In this paper we deal with arbitrage possibilities in a large financial market, a concept originally introduced by Kabanov and Kramkov, see [10].Following these authors we define a large financial market to be a sequence of filtered probability spaces (Q n , T n , (^r")i£R+, P").On each of these "small" spaces we can trade in d(n) securities, whose price processes are denoted by an R^^-valued [T? )-adapted semimartingale.We suppose that for each "small market" there exists a probability measure Q n on T n that is equivalent to the original measure P n , such that S n is a local Q"-martingale. Sowe obviously do not have any arbitrage opportunities on the small markets, a fact that is very well-known (see [8], [9]).Nevertheless by choosing a reasonably large portfolio (i.e., by trading on a large number of small markets) we may be able to make some kind of approximation of an arbitrage profit.Kabanov and Kramkov called this form of arbitrage an asymptotic arbitrage and distinguished two kinds.Asymptotic arbitrage of first kind (see Definition 1.1 below) can be interpreted as an opportunity of getting arbitrarily rich with positive probability by risking arbitrarily small losses, i.e., taking a