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Un théorème sur les fonctions bornées et uniformément continues sur l’axe réel

1945; Mittag-Leffler Institute; Volume: 77; Linguagem: Francês

10.1007/bf02392224

1871-2509

Arne Beurling,

Mathematical Dynamics and Fractals

Le thdor~me que nous allons 4tablir dans cette Note fair pattie d'une thdorie spectrale encore inpubli4e, et sa d4monstration primordiale reposait sur l'usage de la thdorie gdn6rale des int~grales de Fourier.M6me si le thdor~me en question appartient ~ cette branche de l'Analyse, on peut l'6tablir par des mdthodes dldmentaires et c'est pour cette raison-lg que nous le publions ici sdpardment avec quelques applications immddiates. Convergence non uniforme des fonetions born~es et continuessur un ensemble ouvert.Soit 0 un ensemble ouvert de points, et ~, ainsi que Tj; T2, ... des fonctions borndes et continues sur O. En ddsignant d'une maniSre gdn~rale par I1~11 la borne sup4rieure du module ]~] sur O, lu convergence uniforme de la suite T, vers ~p se traduit par la condition lim II~v-9onll = o.?1=Qo Nous allons dans cette recherche employer une notion particuli~re de convergence, appellde dans la suite convergence ~troite et ddfinie ainsi: la suite ~,~ sera dire 6troitement convergente sur O, si 1 ~ elie converge uniformdment sur tout ensemble fermd indus dans O, 2 ~ lim II {P,, II = II ~P II < c~ o~ ~ ddsigne la fonetion limite de la suite.n~c~