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Surfaces Telles Que la Somme des Rayons de Courbure Principaux est Proportionnelle a la Distance d'un Point Fixe au Plan Tangent

1888; Johns Hopkins University Press; Volume: 10; Issue: 3 Linguagem: Francês

10.2307/2369337

1080-6377

Édouard Goursat,

Algebraic and Geometric Analysis

1. Dans un M6emoire recent, publie dans l'American Journal of Mathemnaties, Vol. X, No. 2, p. 175, M. Appell a etudie les surfaces telles qu'un point fixe se projette sur chaque nornmale au milieu des centres de courbure principaux. J'etudie dans ce travail des surfaces jouissant d'une propri6et1e un peu plus gen6rale; la determination de ces surfaces depend de l'integration d'uile' equation lineaire aux derivees partielles, qui peut etre integree sous forme explicite par la m'thode de Laplace dans un nombre illimite de cas, dont les plus simples fournissent precisement les surfaces minima et les surfaces 6tudiees par M. Appell. De chaque surface de cette espece on peut en d6duire une nouvelle par une construction geomnetrique, qui comprend comme cas particulier la construction donnee par M. Appell. Je montre en terminalnt comment on peut ramener ua Ui probl6me resolu par Riemann la recherche des surfaces de cette nature tangentes a une developpable donnee le long d'une courbe donnee. 2. Considerons un systeme de trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz et une sphare S de rayon egal a l'unite ayant pour centre l'origine. Soit 2 une surface non developpable, M un point de cette surface, a, b, c les cosinus directeurs d'une direction determinee MN sur la normale a la surface 2 an point Mi. Si par l'origine onn mene une parallele a cette direction, cette droite rencontre la sphere en un point bien determin6e m, dont les coordonnees rectangulaires sont a, b, c, qui est dit l'image sphgrique du point Mi. A chaque courbe tracee sur :? correspond ainsi une courbe tracee sur Ia sphere qui sera appelee image sph6rique de la premiere.