Équations de Cauchy-Riemann tangentielles associées à un domaine de Siegel
1976; Société Mathématique de France; Volume: 9; Issue: 1 Linguagem: Francês
10.24033/asens.1303
ISSN1873-2151
Autores Tópico(s)Analytic Number Theory Research
ResumoSoit D un cône convexe ouvert de R" et homogène sous un groupe Ho de transformations linéaires, qu'on choisit complètement résoluble.Soit Q : C^xC^-^C" une forme Q-hermitienne et supposons qu'il existe une représentation de Ho dans C" telle que ho.Q (u, v) = Q (ho u, ho v).Le domaine D (Q; Q) = { (z, ù) e C" x C"; Im z-Q (u, ù) e 0 } est alors un domaine homogène sous le groupe B = Ho x C" x R" où l'action est donnée par {voir [6], [14]) :hoeîlo ' -ho(x+iy, u) = (ho.x+iho.y,ho.u), UoeC" 1 : Uo.Çx+iy, u) = (x+iy+2iQ(u, Uo)+i (î(uo, Uo), U+UQ\ XoeR": Xo.(x+îy,u)=(x+Xo+iy,u).Dans [13] (a) nous avons étudié des représentations de B dans des espaces de fonctions holomorphes sur D = D (0, Q).Considérons le bord de Shilov S = { (z, u), Im z = Q (u, u) } de D. Le groupe B agit naturellement dans L 2 (2) et conserve l'espace H CL) des fonctions dans L 2 (2) satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann tangentielles.On se propose d'étudier la décomposition en représentations irréductibles de cette représentation de B et d'étudier la relation entre l'espace H (2) et l'espace de Hardy H 2 du domaine D (Q, Q) (voir [8], [16]) (cette représentation de B dans H (S) est la représentation définie par la sous-algèbre t) == ^ © ^1/2» introduite en [13] (à), p. 359, et que nous avions promis d'étudier).Plus généralement, soient 0^ = { 0 }, ..., ^,, ..., ^ certaines orbites de Ho dansO-Q (par exemple, si iï est le cône des matrices symétriques définies positives, alors ^, sera essentiellement la partie du bord de 0 formée par les matrices semi-définies positives et de rang f-1).On considère la sous-variété £g du bord D-D du domaine D, définie par 5^ = {(z, u); Imz-Q(M, u)e^} (on a S = SQ.On définit une représentation unitaire pg de B dans un espace de Hilbert H (2^) de fonctions sur 2g satisfaisant les équations de Cauchy-Riemann tangentielles sur 2g, et on étudie la H. ROSSI ET M. VERGNE décomposition de pg en représentations irréductibles (paramétrisées par les orbites de B dans le dual b* de son algèbre de Lie b).Dans le cas d'un domaine symétrique irréductible (excepté pour S = Si , et lorsque D est de type tubulaire) toutes les fonctions de H (Zg) s'étendent en des fonctions holomorphes sur D. On identifiera les normes de ces espaces de Hilbert J'fg de fonctions holomorphes obtenus comme des normes du type espaces de Hardy associés à la sous-variété 2g.Cet isomorphisme ^fg h-> H (£g) donné par la valeur au bord est essentiel dans l'étude de certaines représentations apparaissant dans la continuation analytique de la série discrète holomorphe et dans la construction de sous-espaces invariants de certaines séries principales unitaires, que nous étudions dans un autre article [13] (é).DÉCRIVONS BRIÈVEMENT LE PLAN DE CET ARTICLE.-Dans la section 1, on considère des sous-variétés réelles D de C^ obtenues de la manière suivante :V est une sous-variété différentiable de R", N est une fonction différentiable à valeurs dans R" définie sur un domaine E de C 1 ", et on considèreOn s'intéresse au système d'équations de Cauchy-Riemann tangentielles définies sur D (qui est une sous-variété réelle plongée dans C" x C"). On introduit (voir[7], [3], [4] et [18]) le ^-complexe associé : (E*, ^).D'autre part si on note par d^ la différentielle extérieure sur V et par ^y le complexe de Cauchy-Riemann sur E, alors on a un complexe naturel sur Do = VxE défini par ^+^y; on étend ce complexe sur (R")* x Do, en laissant les coefficients des formes varier en Ç e (R")*.En d'autres termes, un élément de degré d de ce complexe est une forme oe du type (dans un système de coordonnées) : 0= S /I,A(Ç, t,u)dt^du^, |I|+|A|=d où/i^fé?^ u) sont des fonctions C°° sur (R")*xVxU et la différentiation est donnée par rf(+^.La transformation de Fourier-Laplace partielle par rapport à la variable z, z e C" définit un morphisme du complexe ^ défini sur D dans le complexe ^+^ défini sur (R")* x Do.Dans cet article nous étudions cette transformation en degré zéro (nous espérons retourner à la considération des espaces de cohomologie de dimension supérieure dans un prochain article) où elle s'écrit si y = î^+N (u) : /(Ç, v, u) = S ^-2lîI <^+ ly >/(x+^, u)dx.JR" 4 e SÉRIE -TOME 9 -1976 -?1 H. ROSSI ET M. VERONE i. e. D = R" 1 x D., où Dh = {(^ M); Imz,-Q(M, u)eC°} est un domaine de C 12 x C m .On obtient le théorème suivant : Soit v f v c^f(D) = ^ classe de fonctions mesurables F SMF D, telles que : pour presque tout x^ F(xi, z^, u) est holomorphe en (z^, u)\ Supf ^(z+ïS.^Pdm^lFllŜupf^(z+fs^dm^lFlI^+ool. eeC°jD J eeC°jD Alors, quel que soit s e C°, F, (z, M) = F (z+f e, M) est une fonction dans H (D), qui tend vers une limite / dans H (D) lorsque s tend vers zéro, et la correspondance F -> f v est un isomorphisme de Jf (D) sur H (D). Ceci est donc, pour les fonctions de carré intégrable, le résultat qu'on peut espérer par le phénomène d'extension d'Hans Lewy.On étudie aussi le cas où N (u) est une forme quadratique réelle quelconque sur C" = R 2 "* et qui se ramène sans difficultés au cas précédent.Dans la section 3. -On considère le cas d'un domaine de Siegel D (0; Q) homogène, et les sous-variétés V seront des orbites ^du groupe Ho défini précédemment dans 0-0.On introduit p^ une représentation unitaire de B dans H(£g); cette représentation se décompose en somme finie de représentations correspondant à des orbites ouvertes de B dans b*.Nous reprenons la méthode de classification des orbites ouvertes due à C. C. Moore dans le cas symétrique, et obtenons une description de toutes les orbites ouvertes de B dans b* ; ces orbites sont déterminées par les signes de fonctions polynômes réelles semiinvariantes sur b*.(Il serait satisfaisant qu'il en soit ainsi pour tout groupe de Lie G connexe ayant des orbites ouvertes dans le dual de son algèbre de Lie.) Décrivons ici la décomposition de la représentation pi correspondant au bord de Shilov Si.On considère U (Q) = { Ç e (R»)*, tels que Qç (u, u) = < Ç, Q (u, u) > soit définie positive }, alors O* <= U (Q). Dans le cas symétrique non tubulaire O* = U (Q) et la représentation pi de B dans H (Si) est irréductible.y\.Dans tous les cas, la transformation /-»/ définit un isomorphisme de H (2^) avec l'espace H des fonctions mesurables (p (Ç, u) holomorphes en u, pour presque tout Ç, à support dans U (Q) x C" telles que IHI^f \^u)\ 2 e-4n <^u^>d^du<+Ĵ (^(Q^C"* D'autre part, U(Q) est réunion à un ensemble de mesure nulle près d'un nombre fini d'orbites ouvertes ^ de Ho dans (R")* [les orbites ouvertes de Ho dans (R")* sont en correspondance bijective avec les orbites ouvertes de B dans b*] et on a pi = V p (^).' 2 ' ai, vifc 8t, ai/ u.=v.-E^T,=A+2fEfE^^-^V, 1 BMa QU^ v>k\l 8tj 8U^ ÔU^jÔZ4
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