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Homologie et cohomologie des algèbres de Lie

1950; Société Mathématique de France; Volume: 2; Linguagem: Francês

10.24033/bsmf.1410

2102-622X

Jean-Louis Koszul,

Algebraic Geometry and Number Theory

INTRODUCTION.Les questions traitées dans ce travail tirent leur origine des Mémoires de M. Élie Cartan sur la topologie des espaces de groupes et des espaces homogènes [1] (*).En s'appuyant sur des théorèmes établis par M. de Rham, M. E. Cartan y a montré notamment que les nombres de Betti d'un espace homogène compact peuvent, en principe, se calculer directement à partir des algèbres de Lie du groupe transitif et du sous-groupe laissant un point invariant.Ces résultats ouvraient une voie d'accès purement algébrique aux invariants d'homologie des espaces homogènes, et en particulier aux nombres de Betti des groupes compacts.En fait, les progrès considérables qui furent accomplis depuis dans ce domaine, principalement par MM.Hopf[2], Samelson [3] et Leray [4] (**), reposent sur des démonstrations essentiellement topologiques qui débordent souvent largement le cadre des espaces homogènes.Cependant, les travaux de MM.Eilenberg et Hochschild montraient plus récemment l'intérêt des théories cohomologiques que l'on peut greffer sur certaines structures algébriques.Dans cette direction, les résultats de M. E. Cartan conduisent à attacher à une algèbre de Lie quelconque des êtres algébriques de nature cohoniologique qui, dans le cas d'une algèbre de Lie de groupe compact, coïncident avec les invariants de cohomologie topologique.Dans une publication de 1948, MM.Chevallej et Eilenberg ont développé celle théorie et ont montré ses applications à l'étude des représentations linéaires.Mon travail reprend certaines parties de leur Mémoire pour en donner un développement autonome.J'ai cherché en particulier à obtenir des résultats qui, appliqués au cas compact, redonnent les principaux théorèmes de Hopf et de Samelson.On verra qu'à cet égard, mes démonstrations se réduisent le plus souvent à reconstituer par des moyens algébriques une situation à laquelle conduisaient des considérations topologiques et à en tirer les conséquences en suivant de très près les voies tracées ( § 10, 13 et 17).Si cet objectif n'a pas été entière-(*) On renvoie aux paragraphes du texte par des numéros entre parenthèses ( ) et à la bibliographie qui suit cette introduction par des numéros entre crochets [ "| .(**) Pour s'en tenir aux travaux les plus généraux LXXVIÏI. 5 ( 7 ) Le « chapeau w ^ sur/indique que le facteur/doit être omis.<») On désigne par (u)P le produit u ^ u ^.. .ude p facteurs égaux a u.< 26 ) Cf. BOURBAKI [6], p. 5o.