Étude sur les variétés et les opérateurs de Julia, avec quelques applications
1949; Société Mathématique de France; Volume: 2; Linguagem: Francês
10.24033/bsmf.1403
ISSN2102-622X
Autores Tópico(s)Mathematics and Applications
Resumoimplique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/( l ) Cf' en particulier : Julia, [lj.Les chiffres entre crochets renvoient à la bibliographie qux termine le travail.( 3 ) Par espace de Hilbert, nous entendons un espace vérifiant les axiomes A, B, C de B. von Sx.Nagy, [1].(•) JULIA, [10J, [11], [12].(*) Les propriétés de ce réseau ont été étudiées, indépendamment, par Mackey.qui a publié ses résultats avant mes nojLcs citées en (4) (MACKEY [3j).,--1(» -TÉOREME DE KOTHE (• > ).-5o^ A et \\ deux opérateurs self-adjoints positifs bornés diagonaux, sans zéros non nuls, équivalents.Leurs suites de valeurs propres sont semblables.COKOLLAHOE.-SoicjU deux systèmes hétéroyonaux (A,) et (B,), deux suites de nombres positifs bornes {a.) et (b.), et soient S et T les opérateurs linéaires fermés bornés définis dans tout II par SA,==^.\,.TB,:-=^B,.Si S et T sont équivalents les suites (c/,) et (b.) sont semblables, Démonstration.Soit (<?/•) une base orthononnale de 11.Par les formules P<°,-^ A,, Oet ^ 1^, on définit deux opérateurs de première classe P et 0. On a I* '81»^= aiOi, o-'TQ^^ /^/, donc P 'SI» et Q 1 ÏQ sont deux opérateurs self-adjoinis positifs bornes diagonaux, sans zéros non nuls, équivalents à S et T, donc équivalents entre eux; on peut leur appliquer le théorème de Kolhe.I. --Étude de la figure constituée par deux variétés fermées.1. Bornes (Pune suite de vecteurs.-Etant donnée une suite de vecteurs (A| , \2, . . . ) de l'espace de Hilbert ^. on appellera bornes inférieure et supérieure de cette suite les nombres _ i "......""^.(l;Donc / " \ I I n 14-3(y -4-^. ..-+. ^, (ït o ^ m ^= [j A; |i ^ M < --h oo ^our ^01^ /.On peut en extraire une suite (A,, ) dont les bornes sont comprises entre m-£ et M 4-e, a^^c £ >> o arbitrairement petit.Démonstration.-A,^, A/,^, . .., A^ _^ étant choisis, il suffit de choisir A,^ (îo façon que j(A^, A^) | ^ ^-A pour k<ip^ ce qui est possible puisque A,i-o.Il suffit alors d'appliquer le lemme (1,1).2. Variétés en position p^ p\ p\ -Dans ce Chapitre, Vi et Y.j élant deux variétés linéaires fermées de ^C, on pose^.eVi^v^, xeV2=vV ir»V2=ci2, V,nV,==t/i^, VinV2==pi'2, \\ nV, == pr,', Pv,Vi == 0,2, Pv.Vi -=Di.r,Pv,\^ ==: Di.,, Pv^V'i == Dr-, PV,V, == D,,, n == sceÇv^^vï'i'Q^t'-î^vi^'), Wi==V,nH, W,==V2nH, W^VinH, W^VanH.Les deux circonstances suivantes sont équivalentes [D.2lj==Vl, Pl2'==0.Elle signifient en effet toutes deux qu41 n'y a pas de vecteur de \ i orthogonal à V^.Ceci posé a. Si [Dai] == Vi et [D<.j]=== Va, nous dirons que V\ et V2 sont en position 7 '; c^est une relation symétrique entre Vi et Vs.Il revient au même de dire.par exemple, que \.\^^~-p^.j===o.Donc, si V< et Va sont en posîtion p\ il en est de même de \\ et V^, et réciproquement (mais pas forcément de Va et V^, ou de Vi et V^).Quelles que soient Vi et Va, Vi e Pia/etV,e ^v, sont en position//.b.Si Vi et V> sont disjointes et sous-tendent ^€, nous dirons que Vi et V., sorr en position p" (relation symétrique entre Vi et V,).Voici des affirmations équivalentes : F^== p^== o; \\ et V^ en position p^; V.^ et V^ en position p' \ V, et V< en position JE/.Quelles que soient Vi et V^, Vi e ^i,> et V^e ^i,, sont en position// 7 dans l'espace (Vi e (^is) © (V,e ^.j).c.Si Vi et V, sont à la fois en position // et en position// 7 , nous dirons que V\ et V, sont en position/?(relation symétrique entre Vi etV,).11 en est de même alors de Vi etV'3, V^elV^, Y\ etV^.Affirmations équivalentes : ^i,====^,==pi,.===^.,,==o;^===^,r=o, [D,J-=Vi, [D^]=V;.L'opérateur Py,, restreint à V,, est alors biunivoque, donc dimVi ^ dimV,.De même, diinV,^dimVi.Ainsi dimVi --= dimV^ == dinriVi ^= dimV^.(Si X a n dimensions, Y}, V',, V,, V^ ont -n dimensions : la disposition considérée ne peut exister que si n est infini ou pair).LEMME 1,3.-a.Les variétés ^13, ^ia/, ^i^, i-'ra', H sont deux à deux orthogonales et sous-tendent X. b.Vi == Wi ® ^12 e ('12';Vî ^ w^ e ^i e i-sr;w'i = H e Wi ; w, == 11 e w,.rf. Wa e^ W^ ^o/i^ en position p avec \V\ ^^ W\ ^a/i.îH.Démonstration. --a.résulte de la définition de II, et de ce que, par exemple, ^i2CVs, ^a/C V,.Wi est l'ensemble des vecteurs de Vî orthogonaux à ^12 ©^i^®^^®^^ donc, puisque ^i/ae^i'2/C V^, à ^e^/C Vî.Donc Wi =^ Vie (^'120^12').On démontre ainsi toutes les formules de 6.De ces formules, on déduit que W<, ^2? ^2^ W',, (-1.2, VT"!', qui sont deux à deux orthogonales, sont aussi complémentaires dans ^C; donc Wi et W. sont complémentaires dans H. D'où c. Enfin, puisque Wi c Y{ et Wa cV2 sont orthogonales à ('12-= Vî nV2, on voit que Wi n W2 ---= o.De même, Wi n W'o = W'i n Wo == W\ n W, == o. iyou^.Ce îemme permet de ramener l'étude de Vî et Vs dans le cas général à l'étude de variétés en position^.
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