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Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes. Application à l'étude de la variété des algèbres de Lie nilpotentes

1970; Société Mathématique de France; Volume: 79; Linguagem: Francês

10.24033/bsmf.1695

2102-622X

Michèle Vergne,

Finite Group Theory Research

A la suite de M. GERSTENHABER, plusieurs auteurs ont publié des articles consacrés à l'étude de la variété des structures algébriques d'un certain type (structure d'algèbres associatives, d'algèbres de Lie, etc.) portées par un espace vectoriel fixe Y. Il est apparu qu'il y avait un rapport étroit entre l'espace tangent à cette variété en un de ses points g, et l'espace de 2-cohomologie H 2 ^, g) associé à la représentation adjointe de g.Citons les deux théorèmes suivants, pour la variété des algèbres de Lie (démontrés par des méthodes élémentaires de géométrie algébrique) : THÉORÈME 1. -Soit 9 une algèbre de Lie sur V telle que 7P(g, 9) == o.Alors Uorbite de g, relativement à Faction de GL(V) dans la variété des algèbres de Lie sur V, est ouverte dans cette variété.Le théorème s'applique évidemment aux algèbres de Lie g semisimples.Signalons qu'un exemple de RICHARDSON montre que la réciproque de ce théorème est fausse.THÉORÈME 2. -Soit 9 une algèbre de Lie sur V, telle que H'(Q, 9) = o.Alors g est un point simple de la variété des algèbres de Lie, et l'espace tangent en 9 à cette variété, modulo l'espace tangent en 9 à Vorbite de 9, est exactement l'espace H 2 ^', ci).Ceci suggère la question suivante : S étant une partie fermée de la variété des algèbres de Lie (par exemple, celle constituée par les structures d'algèbres de Lie niipotentes, résolubles, etc.), peut-on définir une cohomologie restreinte pour laquelle l'espace de 2-cohomologie restreinte de g à valeurs dans g, soit l'espace tangent à S en g ?