Sur la continuité des fonctions analytiques singulières
1932; Société Mathématique de France; Volume: 2; Linguagem: Francês
10.24033/bsmf.1183
ISSN2102-622X
Autores Tópico(s)History and Theory of Mathematics
Resumoimplique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/( l ) Une région R est un ensemble de points dont chacun est intérieur à R et dont deux quelconques peuvent être joints par une ligne brisée dont tous les points sont dans R.4. M. Lusin a posé la question suivante : Est-il possible que F ne soit holomorphe en aucun point de -y, dans le cas où y n'est rencontré qu'en un point par une parallèle à une direction fixe, par exemple dans le cas ou y est le lieu du point x ~\-4(cr), pour a^x^b, ^(x) étant une fonction continue de x"î La seconde partie de cet article est consacrée à l'étude de ce cas qui peut effectivement être réalisé.Mais n'y a-t-il pas lieu pour un arc y dont aucun arc partiel n'est reclinable, d'envisager un ordre d'infinitudepoursa longueur?Cet ordre étant supposé défini, intervient-il ou non pour classer les arcs y en deux catégories suivant qu'une fonction F(^) continue sur y et holomorphe hors de y peut ou non n'être holomorphe on aucun point de y?Je propose pour les courbes y = ^{x) une définition de l'ordre (i'infinUlido de leur lon^iiour ou plutôt une définition de l'ordre d'iiirniitudc (le la variation totale VÏ(^, a, b) de la fonction continue 4/(.r) sur nn intervalle ab.Je considère, à l'échelle oe, mesurîini Fordiv d'espacement des points subdivisionnaires utilisés dans la définihon du nombre VT(^, a. b) quand ce nombre es! fini, je considère une variation totale .supérieureV(c»)) et une variation totale inférieure ^((.)), l'une et l'autre infinies avec ï -' (•) J'ovoluo (hms les cas rencontrés ces nombres V(ûJ) et r(c»J) avec assez de précision pour pouvoir exactement comparer leurs ordres quand G) tend vers zéro.J'étudie de ce point de vue les courbes y, soit ^•-(-^(^•) sur lesquelles j'ai démontré la continuité de la fonction ?<",/••^a \ S4-/'HS)-Ĵ e constate que, pour ces courbes, la croissance de V (ûi)) ne peut pas descendre au-dessous d'un certain ordre minimum.Je laisse ouverte la question de rechercher si la continuité sans holomorphie d'une fonction V(z) est possible sur tout arc y dont chaque arc partiel est non roctifiable, ou si elle est réservée
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