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Extensions abéliennes non ramifiées de degré premier d'un corps quadratique

1972; Société Mathématique de France; Volume: 79; Linguagem: Francês

10.24033/bsmf.1735

2102-622X

Georges Gras,

Mathematics and Applications

Soient p un nombre premier impair, et k un corps quadratique.Une méthode de construction des extensions abéliennes non ramifiées de degré p de k est obtenue grâce à une description de ces extensions au moyen de sous-groupes convenables du groupe multiplicatif d'un corps abélien, î, de degré absolu p -1, canoniquement associé à A: et p.Ces groupes sont explicites dès que sont connus le groupe des classes et le groupe des unités de k (ce qui est, numériquement, le plus difficile).Un polynôme, universel pour le degré p (calculé ici pour p = 3 et p == 5) définit alors l'extension cherchée.L'étude des groupes précédents conduit enfin à un énoncé du « Spiegelungsatz » de LEOPOLDT, pour le cas quadratique, aboutissant (pour p = 3) à une illustration numérique détaillée.D'autres exemples (p = 5) ainsi que des tables numériques sont joints.Introduction.-Nous nous proposons de donner, pour les extensions quadratiques des rationnels, une démonstration directe du « Spiegelungsatz » de LEOPOLDT [4] qui relie, pour tout nombre premier p impair, le p-rang du groupe des classes d'idéaux d'un corps quadratique À: au p-rang d'un certain groupe de classes d'idéaux d'une extension cyclique de degré p -1 des rationnels notée ^.Cette démonstration donne en même temps les moyens techniques permettant de rechercher systématiquement les extensions non ramifiées de degré premier impair d'un corps quadratique, donnant ainsi une solution naturelle au problème posé par HASSE et résolu notamment pour le corps Q(V-47) ([2] et [3]); en particulier, nous donnons une méthode de construction d'un polynôme irréductible de degré p sur Q dont le corps de décomposition est l'extension cherchée du corps quadratique.La recherche d'exemples numériques est basée sur une investigation relativement simple dans le corps k associé à À: et p par le « Spiegelungsatz ».