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Algèbres d'opérateurs différentiels et quotients des algèbres enveloppantes

1974; Société Mathématique de France; Volume: 79; Linguagem: Francês

10.24033/bsmf.1786

2102-622X

Nicole Conze,

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems

Soient g une algèbre de Lie de dimension finie sur un corps de caractéristique zéro, U(Q) l'algèbre enveloppante de g, et 1 un idéal bilatère induit de U (9).On réalise l'algèbre quotient <7(g)// comme algèbre d'opérateurs différentiels.On en déduit, en particulier, qu'un idéal bilatère de U(Q\ induit par un idéal bilatère complètement premier, est complètement premier.Lorsque g est semi-simple déployée, et 1 l'annulateur d'un g-module simple admettant un plus haut poids, on obtient un plongement de U(Q)II dans l'algèbre ^n des opérateurs différentiels à coefficients polynômiaux en 72, variables (n == (1/2) (dim g-rang g)), tel que Fract (£/(g)/J) = Fract ^.Grâce à des extensions du corps de base, on obtient un résultat analogue pour les algèbres î/(g)/p, où p est un idéal de £/(g), engendré par un idéal premier du centre de U(Q).N. CONZE section avec le centre Z de U (9). Par la méthode exposée dans la première partie, on obtient un plongement de U(^)/I dans l'algèbre de Weyl des opérateurs différentiels à coefficients polynômiaux en n variables (n = (l/2)(dimô-rangg)), avec des formules explicites.Suivant une suggestion de M. DUFLO, on étudie ensuite l'espace des Â:-homomorphismes g-finis d'un module de Verma dans un autre, en s'inspirant du mémoire [10] de I. M. GEL'FAND et A. A. KIRILLOV.On montre ainsi que le corps des fractions de U (g)// est isomorphe au corps des fractions de j<.(Cela avait été observé dans [5] lorsque 9 = si (2, k).Signalons que [5] contient des résultats beaucoup plus complets sur les quotients primitifs de (7(9), pour 9 == si (2, k)).Si 7 est un idéal de U(^), engendré par un idéal maximal de Z, il existe une extension finie k' de k telle que 1 ® k' soit l'annulateur d'un module de Verma sur g (x) k'.On a donc Fract((C/(9)/J) ® k') == Fract« ® k'\ Utilisant des extensions du corps de base comme dans [8], on obtient un résultat analogue pour l'algèbre U(o)/U(^) p, où p est un idéal premier de Z. (En particulier, pour p == 0, on retrouve le résultat principal de [10]).L'essentiel de ces résultats a été annoncé dans [3].J'exprime ma très vive reconnaissance à J. DIXMIER, qui a dirigé et encouragé mon travail avec beaucoup de patience et d'attention.