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Sur la représentation conforme des domaines limites par des courbes rectifiables

1937; Société Mathématique de France; Volume: 54; Linguagem: Francês

10.24033/asens.861

1873-2151

Keldysch, Lavrentieff,

Advanced Numerical Analysis Techniques

de l'É.N.S. » (http://www.elsevier.com/locate/ansens)implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 2 KELDYSOH ET LAVRENTIEFF, table par l'intégrale de Cauchy satisfasse au principe du maximum (').Dans la première Partie de cet article, nous démontrons quelques théorèmes sur la correspondance des frontières dans la représentation conforme, de ces théorèmes nous allons obtenir quelques conditions géométriques suffisantes pour que log[ y^^)) soit représentable par l'intégrale de Poisson.Dans la deuxième Partie, nous allons construire un exemple d'un domaine (D), qui donne la réponse négative à la question générale posée plus haut.Ensuite, nous allons indiquer quelques propriétés des domaines pour lesquels la fonction log | ç^^) | n'est pas représentable par l'intégrale de Poisson.La troisième Partie est consacrée à l'étude de quelques classes de polynômes extrémaux introduits par M. Julia.L'étude de la convergence de ces polynômes est étroitement liée à la question traitée dans la première Partie.Les résultats de cet article ont été énoncés, sans démonstration, dans nos trois Notes : Sur la représentation conforme ( 3 ), Sur une classe de polynômes extrémaux ( 3 ) et Sur quelques propriétés des fonctions univalentes^'). PREMIÈRE PARTIE.1. Pour abréger les démonstrations et les énoncés des propositions qui suivent, introduisons quelques notions géométriques.Soit (D) un domaine simplement connexe, borné, qui contient le cercle \z\ <;-et soit F la frontière de (D).L'arc y étant un arc quelconque de r, nous allons désigner par-y l'arc de longueur minimale, qui vérifie les conditions suivantes : i° y appartient au domaine fermé D==D 4-F; 2° les extrémités de y appartiennent à F et sont extérieures à y; 3° le domaine simplement connexe fermé, dont la( 1 ) SMIRNOPF, Jourfî,