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Ensembles fermés d'entiers algébriques

1965; Société Mathématique de France; Volume: 82; Issue: 1 Linguagem: Francês

10.24033/asens.1135

1873-2151

M. Grandet-Hugot,

Advanced Algebra and Geometry

INTRODUCTION.L'objet de ce travail est l'étude des ensembles dérivés successifs de certains ensembles fermés d'entiers algébriques sur le corps des rationnels, ou sur un corps quadratique imaginaire.Soit S(K) l'ensemble défini de la manière suivante : Un nombre 9eS(K), si 0 est un entier algébrique sur K, si 9 > i et si tous ses conjugués autres que lui-même sont, en module, inférieurs à i. (K étant soit le corps des rationnels, soit un corps quadratique imaginaire).On voit facilement que l'ensemble S==S(Q) est l'intersection de tous les ensembles S(K).De plus, si 9 est imaginaire, alors 9 €82, ensemble des entiers algébriques sur Q qui sont imaginaires et ont un seul conjugué autre queux-même de module supérieur à i, les autres étant de module inférieur à i. Mais tout nombre de Sa n'appartient pas nécessairement à un ensemble S(K), en efïet, il faut, pour cela, que tous ses conjugués soient imaginaires, et même, cette condition n'est pas suffisante; par exemple : si 9 est l'un des zéros supérieurs à i, en module, de z°-('" z/l -I ?alors 9€S_>, mais n'appartient à aucun ensemble S(K).(') Thèse Se. math., Paris, 1964.Ann.Éc.Norm., (3), LXXXII.-FASC.1. 1 M. GRANDET-HUGOT.Le lemme de Minkowski permet de montrer qu'il y a des nombres de S dans toute extension réelle de Q, et même des unités algébriques.Et dans toute extension imaginaire de Q, il y a des nombres de S^ et même des unités algébriques [11].On démontre de manière analogue que, dans toute extension d'un corps quadratique imaginaire K, il y a des nombres de S(K) et même des unités algébriques de cette extension.Les nombres OçS interviennent dans un certain nombre de questions : approximations rationnelles des nombres algébriques, répartition modulo i [11], ensembles d'unicité des séries trigonométriques [15].Certaines de ces propriétés s'étendent aux ensembles S(K) (approximations, répartition module i).En associant à l'ensemble S, une famille de fractions rationnelles bornées par i, en module, sur la circonférence-unité, M. Salem a montré que Vensemble S est fermé dans la topologie de la droite réelle [11].On montre d'une manière analogue que V'ensemble SuS.2 et les ensembles S(K) sont des ensembles fermés ([9], [10]).De plus, l'étude de ces fractions rationnelles permet d'obtenir des propriétés des ensembles dérivés successifs de S(K).Dans le chapitre I, nous étudierons les propriétés de fonctions méromorphes à l'intérieur du cercle-unité et bornées par i, en module, sur la circonférence-unité.Nous pourrons alors écrire certaines inégalités entre les coefficients de leur développement en série de Taylor au voisinage de l'origine; ces inégalités généralisent celles qui ont été obtenues par M 116 Chamfy [1].Parmi ces fonctions, nous considérerons plus particulièrement les fractions rationnelles.Dans le chapitre II, nous caractériserons les ensembles S" (K), dérivés seconds de S(K).Nous pourrons alors écrire des inégalités entre les coefficients de Taylor des fractions rationnelles associées à ces nombres.Dans le chapitre III, nous étendrons ces résultats aux ensembles dérivés h^ S^K).Enfin, dans le chapitre IV, nous appliquerons ces résultats à la recherche des plus petits éléments, en module, de certains des ensembles étudiés.La plupart des résultats exposés ici s'étendent facilement aux ensembles S,y définis par M. Pisot [l], qui sont des ensembles fermés de nombres algébriques.Certains de ces résultats ont fait l'objet de Notes à l'Académie des Sciences ([8], [9]).ENSEMBLES FERMÉS D'ENTIERS ALGÉBRIQUES.3 CHAPITRE I. FONCTIONS MÉROMORPHES A L'INTÉRIEUR DU CERCLE-UNITÉ.Nous rappellerons d'abord les résultats obtenus par Schur [17] dans le cas des fonctions holomorphes et par M 116 Chamfy [1] dans le cas des fonctions méromorphes.Puis nous donnerons une méthode pratique pour former les inégalités entre les coefficients du développement en série de Taylor d'une fonction méromorphe; nous nous intéresserons ensuite au cas particulier des fractions rationnelles.1. FONCTIONS HOLOMORPHES [17].-Nous appellerons fonction de Schur, une fonction F(z) holomorphe dans le cercle-unité et bornée par i, en module, pour z ^i.Soit 00 F (^=^^:'' l 71=0 au voisinage de l'origine.D'après le principe du module maximum, on a alors | ^'0 -= 1 • Considérons la suite des fonctions ainsi définies : ¥,(z)=V(z) F^(^)= ^p ' ^ ^ où y.=F,(o).A -}n 1 -n {^ ) -'