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Sur les familles de fonctions analytiques qui admettent des valeurs exceptionnelles dans un domaine

1912; Société Mathématique de France; Volume: 29; Linguagem: Francês

10.24033/asens.652

1873-2151

Paul Montel,

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems

Introduction.Les théorèmes que M. Picard a découverts en 1879, le premier sur les valeurs d'une fonction entière, le second sur l'indétermination d'une fonction uniforme dans le voisinage d'un point essentiel, ont été l'origine d'un grand nombre de travaux.Un premier groupe de ces travaux est relatif à la recherche d'une démonstration de ces théorèmes qui fasse simplement appel aux propositions élémentaires de l'Analyse, en évitant l'emploi de la fonction modulaire.C'est M. Borel qui, en 1896, est parvenu à construire une telle démonstration pour le premier théorème.Sa méthode a conduit M. Schottky à donner, en 1904, une démonstration du second théorème obtenue en suivant la même voie : cette démonstration a été simplifiée par M. Lindelôf.D'autres séries de recherches ont permis d'arriver à d'importantes généralisations du premier théorème, relatives à la théorie des fonctions entières et à celle des fonctions multiformes.Nous n'aurons pas à nous en occuper dans les pages suivantes.Enfin, de nombreux et remarquables travaux sont venus se grouper 488 P. MONTEL.autour du théorème que M. Landau a établi en 1904 et qui a apporté au premier théorème de M. Picard une précision nouvelle.Là proposition de M. Landau donne une propriété commune à toute une famille de fonctions analytiques admettant des valeurs exceptionnelles; d'autre part, des recherches récentes sur la convergence des séries de fonctions holomorphçs, dues à MM.Vital i, Severini, Landau et Carathéodory et à moi-même, ont montré rimportancc du rôle des valeurs exceptionnelles au point de vue de la convergence uniforme.Il apparaît donc comme naturel d'étudier en elles-mêmes les familles de fonctions analytiques qui admettent des valeurs exceptionnelles dans un domaine.C'est cette étude que j'ai entreprise ici; les fonctions d'une telle famille sont rattachées les unes aux autres par une propriété remarquable : toute suite infinie de ces fonctions admet une ou plusieurs fonctions limites.Cette propriété apparaît comme la source des différents théorèmes récemment énoncés pour ces fonctions.Dans le Chapitre I,j'ai étudié les propriétés générales des familles de fonctions telle que, de toute suite formée avec des fonctions de la famille, on puisse extraire (nie suite nouvelle convergeant uniformément vers une fonclion limite finie ou vers l'infini : ce sontles/hw&.ynormales.Les fonctions holomorphes, bornées en module, ou admettant un domaine de valeurs exceptionnelles., ou ne prenant ni la valeur o ni la valeur ïy lorsque la variable demeure dans un domaine fixe, forment des familles normales.Les fonctions qui, dans les mêmes conditions, peuvent prendre p fois les valeurs o ou x forment des familles quasi-normales dont les propriétés sont voisines de celles des familles normales.Enfin, j'ai considéré le cas plus général des fonctions qui peuvent prendre un nombre quelconque de fois les valeurs o et i, l'ensemble des valeurs correspondantes de la variable étant assujetti, à. certaines restrictions.Le Chapitre II est consacré à l'application de ces notions à l'étude de l'indétermination d'une fonction uniforme dans le voisinage de ses points essentiels.Je donne d'abord des démonstrations simples des théorèmes de M. Picard et de quelques propriétés des fonctions holomorphes lorsque la variable est à l'intérieur d'un angle ayant son sommet en un point singulier, en étendant les résultats obtenus SUR LES FAMILLES DE FONCTIONS ANALYTIQUES, ETC. ^89par M. Lindelôf.^examine ensuite quelques cas où le théorème de M. Picard peut être appliqué à des ensembles discontinus de points singuliers.Je retrouve enfin les théorèmes de MM.Landau, Schottky, P. Lévy, et j'établis des théorèmes correspondants lorsque la fonction peut prendre p fois les valeurs o et i ou satisfait à des conditions plus générales.Je m'occupe, dans le Chapitre III, de la convergence des séries de fonctions holomorphes : je montre comment les propositions obtenues récemment par divers auteurs ne sont que des formes différentes (l'une même proposition fondamentale relative aux séries de fonctions appartenant à une famille normale, et j'établis quelques théorèmes nouveaux sur les séries de fonctions holomorphes qui peuvent prendre p fois les valeurs o ou i, ou même sur des séries plus générales.Les principaux résultais de ce travail ont été énoncés dans deux Notes insérées aux Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, le 20 novembre et le 26 décembre 1911. CHAPITRE I.LES FAMILLES NORMALES. Soit/lO), /,(.r;), ..., //,(^), une suite infime de fonctions holomorphes dans un domaine connexe I) limité par un ou plusieurs contours simples; nous dirons que celte suite converge uniformément vers une fonction limite /(^) à l'intérieur de I), si 1)^ étant un domaine quelconque complètement intérieur à D, on peut faire correspondre à chaque nombre positif £ arbitrairement petit un entier/^ tel que pour n ^>p on ait \fW-fnW\<p our tout point x appartenant au domaine fermé D^.Il résulte d'un théorème de Weierstrass que la fonction f{x) est holomorphe dans le domaine ouvert D et que les suites infinies formées par les dérivées Ânn.Èa.Norm.^ (3,), XXIX.-"-WOVISMHKE 1912.62 * /..• -^-" be^Ĵ n ( x )---" ^_e^n {x ' ) ? 4g6 P. MONTEL.et lorsque y^^) converge im-iformément vers (D^), fn(^) converge uniformément vers F(^) donnée par l'égalité a^be^w ^"^Tr^r-Si <&(;r) est identiquement nulle, on voit immédiatement que les fonctions --r convergent uniformément vers zéro.J n \ x )Supposons, maintenant, que (;r) soit la constante infinie : puisque la partie imaginaire de y//^) est bornée, la partie réelle de ce nombre augmente indéfiniment en valeur absolue; donc, pour n assez grand, l'une des deux inégalités suivantes est vérifiée : | 6^M^ | < £ ou | (r-^W \ < e, £ étant arbitrairement petit.Par conséquent, pour n assez grand, on a \f(,r)^ ^| <€ f(^) ~ h OU f(:v)^b <£.f{x)-a ( ï ) Dans le cas où la fonction limite est finie, elle n'est jamais égale a zéro ni à un, à moins qu'elle ne se réduise à la constante zéro où à la constante unité.