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Étude sur la détermination des singularités de la fonction analytique définie par une série de Taylor

1938; Société Mathématique de France; Volume: 55; Linguagem: Francês

10.24033/asens.874

1873-2151

Arnaud Denjoy,

Optimization and Variational Analysis

1. Dans un Mémoire paru en 1929 ( 1 ), M. G. Pôlya indique un moyen de mettre en évidence une partie des points singuliers de la fonction analytique /(^) définie par un développement de Taylor donné (ï) , f,(^=^-+-a^+...^a^l-{-..., .• ' \ ou plus commodément de la fonction g(^) définie par l'élément Cfi C/r, ; î^ ) • • !, , 6'U ( 3 ) = ^0 -»-T -+-••• + -:.-« ;+ • Soient Co le cercle de convergence |^j =Ro de cette dernière série, So la région infinie de Co. Pour chaque valeur de 9, considérons la droite A(6) d'équation .j==^[^(Q^+AJ {t réel quelconque), p(9) étant le plus petit nombre possible tel que, dans larégion positive A-^O) de A(9.) [obtenue en remplâçantp(6) par tout nombre plus grand"], il existe une fonction holomorphe ^i(-s) identique à ^o(^) dans la partie commune à A-^G) et a So.Par hypothèse, A(6) contient une singularité de cette même fonction ^(^).La réunion de toutes les régions A-^Q) forme une région infinie Q, renfermant la totalité î'') G. POLYA, Luckel) uwl Sîn §uî(irUateîi von Poien^reiheiï (M o) dans la région infinie S(6, A) duquel g'o(z) est prolongeable en fonction holomorphe à partir de la région circulaire |^+^i^>À+Bo, 2(6, A) est totalement inclus dans Q, B eël dans la région finie de F. Ce cercle contient au moins un point de V, et tous les points de V situés sur F sont principaux.Il y a identité entre l'ensemble des points principaux de V appartenant à des cercles r(6, A) et celui des points où V possède une plus petite courbure positive (et non nulle).Paris (t.204, 1937, p. i456), et dont M. Hadamard a souligné le grand Intérêt, M. S. Mandelbrojt donne une règle permettant d'obtenir tous les points de V situés sur Co, ou, par une extension immédiate, sur F(0, A).Le procédé de cet auteur repose sur deux fondements distincts : Dans une Note parue aux Comptes rendus de rAcadémie des Sciences dei° Une remarque de nature géométrique que je rattache à un principe générai (4-16); 2° un résultat de calcul dont l'intérêt est dans la simplicité d'expression des formules utilisées.Dans la dernière partie de ce travail, j'applique le principe géométrique dont M. Mandelbrojt a donné l'idée à des familles de courbes dont la configuration dépend d'un paramètre.Des développements analytiques, dont la simplicité rappelle celle des expressions de M. Mandelbrojl, me conduisent à des règles fournissant, pour la fonction /(-s) prolongeant /o(^) dans Tétôile rectiligne de Mittag-Leffler issue de rorigine, les points singuliers situés aux extrémités des rayons de rétoile (36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43).Mais auparavant j'étudie les conséquences fournies par le rap-260 ARNAUD DENJOY.prochement de la fonction de M. Pôlya et des coefficients de M. Mandelbrojt (21-29), Considérons les points principaux isolés de V (//' §".2).Ce sont des points ^=p^ tels que, dans un intervalle majeur (non extensible) Si <^9<^Q2,Ia droite A(6) ne cesse pas de passer par un tel point.Donc ^(6')=:pcos(^-^).; .! / ^ , ^ ' !!, , ! , ! !Fig.1 , 1 ' 1 -' 111 ^ , . 1 ' 1 1 111; /, ;, ^0 " 4-^ , -• 1 .' !!ÉTUDE SUR LA DÉTERMINATION DES