Mémoire sur la permutabilité des fractions rationnelles
1922; Société Mathématique de France; Volume: 39; Linguagem: Francês
10.24033/asens.740
ISSN1873-2151
Autores Tópico(s)History and Theory of Mathematics
Resumode l'É.N.S. » (http://www.elsevier.com/locate/ansens)implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/MÉMOIRE SUR LA PERMIÎTABILITÉ DES FRACTIONS BATIONKELLES.l35 cycle dont tous les points ne soient pas confondus avec l'origine, ses conséquents successifs sont en nombre fini et distincts de zéro, ils ne peuvent tendre vers l'origine.L'étude des cycles de la substitution Z, == R(Z)5 et spécialement des cycles répulsifs a été faite dans mon Mémoire déjà cité( 1 ).Il y en a une infinité distincts entre eux; par conséquent on en pourra toujours choisir un (Z,, Z^ ,.../Z^.)dont aucun point ne soit valeur exceptionnelle de U(s)^ car les valeurs exceptionnelles sont au nombre de deux au plus.L'existence de,pareils cycles met en défaut l'hypothèse faite.Donc \s^ | ne peut être <^ i.2° Supposons ^ •==:e 1 ^7!, p et q étant deux entiers positifs premiers entre eux; alors ^== i, par conséquent, on aurait G(.^)-R^[G(^:|=G(.).Quel que soit Z, non valeur exceptionnelle de G(s), on aurait Z=R^(Z), R^ -étant l'itérée d'ordre y de B^.Or, on sait qu'aucune itérée de R, ne peut être identique à Z si R, n^est pas du premier degré ( 2 ).L'hypothèse actuelle est donc à rejeter.3° Supposons s^ == c^, 6 étant un nombre incommensurable.Alors les conséquents z,^ z-s^ == ze^ sont partout denses sur la circonférence de centre 0 qui passe par le point s, et quel que soit z à distance finie.Il leur correspond, par la transformation Z = G(^), des points Z,=G(Z,)(1) Voir ./. de Math., 1918, p. 83 à 97.Les points Zi, Zg, .. ., Z,, forment un cycle (fordre n ou groupe circulaire si Za == R(Zi), Z3==R(Z;i), ..., Zi===R(Zrt).Le multiplicateur s du cycle est( 2 ) Les degrés respectifs des itérées sont en effet d^ d^.cl\, ..., cl^ ... si di est le degré de Ri.D'ailleurs, si Ri était du premier degré, G se réduirait à une fraction rationnelle du premier degré, contrairement aux hypothèses l'ai tes.l36 ' GASTON JULÏA.du plan Z qui sont les conséquents successifs de Z parZ^ = R, (Z) et ces Z,, seraient denses partout sur une courbe fermée analytique correspondant au cercle | J [ = const.par Z = G(s) : ceci devrait se produire quelque soit Z, sauf peut-être pour les deux valeurs exceptionnelles possibles de G(^).Or, il suffit, ici encore, de choisir pour Z un point d'un cycle de R,(Z),, dont l'origine ne fasse pas partie, pour mettre la conséquence précédente en défaut.La deuxième hypothèse devant être écartée, il s'ensuit que |.v, | est nécessairement > ï. 5. Supposant [ i, on a immédiatement la conséquence suivante des équations (3) et (4) : a(^^)=:R,[G(^.^]=R2[Ri[G(^)]],Gr(^.^)r=R,[G(^^]=Bt[R.[(x(^)]].Par conséquent, quel que soit^j, R2[Bi[G(^):n=Bi[R2[0(^)Tl, et, comme on peut donner à G(^) ==Z tonte valeur, hormis peut-être les deux valeurs exceptionnelles toujours possibles de G(-z), il suit que les deux fractions rationnelles IL[Ri(Z)) et R|[IL(Z)| sont identiques : R,[R,(Z)]^R,[R,(Z)], , , , ce qu'on exprime en disant que les deux fractions rationnelles R< (Z) et Ra(Z) sont permutables ( ^ ).Lapermutabilité del^ et R^ apparaît comme une condition nécesmire pour que les relations (3) et (4) soient simultanément possibles.On va montrer qu'^/fe est suffimnte.( 1 ) On dira également alors que les deux substitutions rationnellessont permutables.Dans la suite, il nous arrivera de parler indifféremment de la permutabilité des deux fractions ou des deux substitu.tioTtsrationnelles précédentes.MÉMOIRE SUR LA PERMUTABÏUTÉ DES FHACTîOINS ÎUTÎ OCELLES. 187(5. Supposons donc que R^ et Ra soient permutables et admettent l'origine pour point invariant répulsif commun.Désignons respectivement par G^(s) et G^s) les fonctions fondamentales que définissent respectivement (3) et ( 4G, et G^ sont définies sans ambiguïté grâce à l'hypothèse | s^ et | ^ | > !• Elles sont méromorphes.Ona G^(.îis)=R,[Gi(5)], Formons r(^R,[G^)].TÇz) est méromorphe comme G, (s) : r(o)==R2[Gi(o)]==o; r(o)==R,(o).G<(o)==^.De plus, r(5^)==R,[G,(^s)]=R,[Hi[Gi(5)]| et, à cause de la permutabilité de R, et IL, r(^^)=R,[R,[Gi^)]]=:R,[r(^)]; ï\z) est donc une fonction méromorphe satisfaisant aux relations (T(.^)=Ri['r(^)], j r(o)==o, P(O)=:.P uisque G^s) est la fonction fondamentale de R, relative à l'origine, on aura r(^)=G,(.^).Or 1 .! !' , ! ^ ., 1 ',/ 1 ' • oc,: R,(a)/ R I ^)l (a), llll ...,•R^I III (a) l , lllll .,.. lll ' 1 1 1 !, ne comporte donc qu'un nombre ^^ + i de points distincts.Il existe donc deux nombres z et/tous deux $</i-t~ ï pour lesquels -111111: ,^,., 1 ,: 1 '^ .; 1 ; 1 -', 11 ,., 1 _ • '•I^^a)^^^^,).'^' 1 1 1 1 ':;. 1111. 11-^, 1 ,., 111 : 1 -MÉMOIRE SUR LA PERMUTABÎLITÉ DES FRACTIONS RATIONNELLES.l4l D'où il résulte que le conséquent d'ordre i de a,,B^ (a) est un point double pour R'^ (Z) ou, si l'on veut, fait partie d'un cycle d'ordre ./S^•+• i de la substitution IL(Z).Le cycle d'ordre j considéré pour IL sera formé des points R^(a), RiT 1 ^), ..., R^-^a), tous points doubles de Ri, d'où ce théorème : Tout point double de [Z[R.,(Z)jitéré indéfiniment par R.s(Z) donne naissance^ à partir d^un certain rang^ à un cycle de [Z|Ra(Z)j composé de points doubles de R^.' • / 11 ^ , -! 1 1 1 -1 ' \ /
Referência(s)