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Sur les équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques

1884; Société Mathématique de France; Volume: 1; Linguagem: Francês

10.24033/asens.239

1873-2151

G. Floquet,

Differential Equations and Numerical Methods

de l'É.N.S. » (http://www.elsevier.com/locate/ansens)implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ï82 G. FLOQUET.sur les équations d'ordre quelconque, ont montré combien sont intéressantes, dans ce cas, les propriétés des intégrales.Je me suis proposé ici, étant donné que les coefficients de V équation considérée admettent deux périodes distinctes ou et G)', de trouver comment cette double périodicité se traduit dans la forme des intégrales.J'ai résolu la question en prouvant qu^il existe m solutions distincte!affectant la forme de polynômes aux deux variables oc et Z(^), les coefficients de chaque polynôme étant des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, de mêmes multiplicateurs, aux périodes êt o)'; î[x} désigne une fonction uniforme qui augmente de quantités constantes quand on y remplace x par x 4-w ou par x 4-û/ Z(.r -h co) =-Z(;r) 4-q, Z(.y 4-^) --= Z(.y) -"!-q', et telle que oo</---ço/ diffère de zéro.Si, dans le rapporta le coefficient de \/-i est positif, on prendra Z(.r)^(DlogO(^)=^, 6[x) étant l'une des quatre fonctions 9, auquel cas on auraSi, au contraire, le coefficient de ^-i est négatif, on prendrax} étant l'une des fonctions &, et l'on auraNos polynômes en x et ï{x} se réduisent généralement à leur terme indépendant de ces variables, de sorte que, en général, il existe un système fondamental d'intégrales doublement périodiques de seconde espèce, ce qui constitue le beau théorème de M. Picard.Je démontre d'ailleurs que, pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que deux équations algébriques, appelées équations fondamentales, aient leyrs ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES A COEFFICIENTS PÉRIODIQUES.ï83 racines inégales, ou au moins que les racines multiples remplissent certaines conditions déterminées.Il y a toujours une solulion de seconde espèce, et j'étudie, dans un cas quelconque, le nombre de celles qui sont distinctes.Les fonctions doublement périodiques, soit de première espèce, soilr de seconde espèce, qui vont figurer dans ce travail, étant toujours aux périodes w et co', je me dispenserai de spécifier chaque fois ces deux périodes.Pour abréger, j'écrirai s. p. d. s. e. et d.p. d. s, e. au lieu de simplement périodique de seconde espèce et de doublement périodique de seconde espèce.J'écrirai pareillement, s. p. d. p. e. et d.p. d. p. e. pour les fondions de première espèce.Je continuerai à employer la notation OE'(^) pour désigner une expression de la forme ^(,y)=:^(^) -h-^cpi(^) 4". ..+^^f,(.r), où yo(;2?), (p^sc), ..., (piÇsc) sont des fonctions s. p. d. s. e., de même multiplicateur et de la période ûû.Je dirai alors que celte expression est de la forme ^(^), avec ce multiplicateur et le degré i.Je désignerai de même par ®'(.r) une expression telle que (S\x) == ^ (.r) 4-x ^ (^) 4-. . .«+-^K.où «po^)» ç ?f ^{x }^ • • * ' yK^) sont s -P-^-s * e '» ^e merne multiplicateur, et de la période ûo / \ I. -Équations fondamentales-1.Soit Inéquation différentielle linéaire homogène ^, , d^r .cV^y d^-^Y P(7)= ^ +^ ^r±î +^^^ ^-.+^y-o, à coefficients uniformes et doublement périodiques, de périodes oo et co', et dont rintégrale générale est supposée uniforme.Faisons abstraction, pour le moment, de la période or/, et regardons les coefficients comme périodiques, de période a».L'intégration dépend alors d'une certaine équation algébrique A. ==o, 184 G-FLOQUET.que j'ai appelée V équation fondamentale relative à la période oe, et dont le premier membre est un déterminantde degré m par rapport à l'inconnue s ( 1 ).Chaque racine s^ de A == o a, pour ainsi dire, deux caractéristiques, son degré de multiplicité ^ et l'ordre \i à partir duquel les déterminants mineurs de A cessent d'être tous nuls pour e •== E^ auquel cas on a ^i^^i ( 2 ).La première ^ représente le nombre maximum des solutions distinctes qui sont de la forme $(.r) avec le multiplicateur e^ ( a ), et la seconde À/ représente le nombre maximum des solutions distinctes qui sont s. p. d. s. e., de période a), avec le multiplicateur £/ (").p., solutions distinctes $(^), appartenant au multiplicateur s^ proviennent du groupe ( ;î ) d'intégrales corrélatif de la racine s^ et le nombre des sous-groupes ( (î ) engendrés par ce groupe est égal à ^-.Si 72 est le nombre des racines distinctes s,, s^, ..., e^ de A == o, il y a ainsi n groupes corrélatifs des diverses racines, et leur ensemble comprend [j.i -h ^.2 +••..-+-[J.néléments, c'est-à-dire m éléments, constituant un système fondamental.Quant au nombre t.oîal des sousgroupes, il est égal à X, +• \^ -+-...-+-X,,, et je poserai Xi 4-^4-.. .--hX/,=d e sorte que v représentera le nombre imxirnum des solutions distinctes qui sont s. p. d. s. e., de période co, tel que P == o en admette v, et pas davantage.Je désignerai par Si (^), S^^), ..., S^{x) v solutions distinctes de cette nature.Toute intégrale de la forme ®(a?) a pour multiplicateur une racine( 1 )