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Sur la théorie de Galois et ses diverses généralisations

1904; Société Mathématique de France; Volume: 21; Linguagem: Francês

10.24033/asens.534

1873-2151

Ernest Vessiot,

History and Theory of Mathematics

INTRODUCTION.'I. I/objet principal de cette étudt 1 est l'extension (le la célèbre théorie do (ialois, |)onr lîîs ('^jiialioîis al^ol)ri(iîics, aux équations lineairos aux dcriv^os jïarlifdlcs, do la f*()î*îïic n <}<f' ^^ , Ô,( ,) ^-'-i/^^"----'")^-0 ' /'=;! et aux systèmes complets de telles équations.Cette extension a été indiquée par M. Drach dans sa Thèse ( l ); malsy à. cause de certaines lacunes dans les énoncés et les démonstrations, il nons a para utile de reprendre la question, afin d^arrivera des résultats bien précis.Nous avons abandonné la méthode de démonstration de Galois, que M. Picard, ( 2 ) a réussi, comme Fon sait, à étendre an cas des équa-( } ) Â/inales de l'École Normale^ 3" sârie, t.XV. 1 ' ( ï ) roir^ par exemple, le Trailé (C Analyse do M. Picard, t.. liï, Cit.XV11.//ti.n.F.c. Norm^ (^), XXL -JANVIKH i<)o4.'-l Il est du reste facile de déduire, de cet énoncé, renoncé chisHiqiN.d'e Galois.Cette méthode montre le lion qui unit, dans cette théorie le po!n(,fh, vue de l'invariance numérique des fondions des racines, auquel' nâ ttaché Galois, et, après lui, M. Jordan, au point do vue de Jinvarimirf ormelle, qui semble avoir été celui de Kronecker.L'éqaivalciîw (h.SIJH LA THEOSUE DE GALOÎS ET SES DIVERSES GENEIUUSÀTÎONS.î Tces deux manières de traiter la théorie est très importante au point de vue de ses applications.On voit, enfin, par la marche que nous venons d'esquisser, le lien qui existe entre le point de vue de Galois, consistant a examiner les simplications que peut présenter la résolution d'une équation donnée, et le point de vue qui consiste a chercher comment on peut tirer parti, pour la résolution d'une équation quelconque, de certaines circonstances particulières données : point de vue qui fut celui d'Aboi, et, dans un autre ordre de questions, celui de Sophus Lie.2* 'Dansun second Chapitre, nous appliquons la même rnétl iode aux é q u a t i o n s d i (Té re n 1 i e 11 e s o r d i n a i r e s, 1 i n é a i r e s e (: 11 o ni ogè n e s.N o u s complétons ainsi, de manière à lit.rendre entièrement rigoureuse, la démonstration que nous avions donnée autrefois, dans notre Thèse, de la double propriété du groupe de rationalité de l'équation, Nous montrons l'équivalence de l'énoncé que nous avions donné, convenablement interprété, et de l'énoncé de M. Picard.La même marche s'appliquerait plus généralement à des systèmes autonnrrphes d'équations difFérentielles, ordinaires ou aux dérivées partielles, pourvu que le groupe associé au système considéré (c'esta-dire qui, eflectué sur les ('onctions inconnues, échange les solutions entre elles) soit un groupe de transformations fini, dont la transformation générale soit définie par des équations rationnelles, L'extension de la, théorie de Galois a de tels systèmes a été indiquée par l'auteur, pour les systèmes d'équations diflerentielles ordinaires, et par M'.Cotfon pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles ('j, 3, Dans le troisième Chapitre, nous commençons à nous occuper des équations (i).Nous traitons le problème préliminaire fondamental, c'est-à-dire que nous substituons à l'équation (i) le système (S) des relations d.idercn.tiellesliant à ^, /,, .... /^, les fonctions x^ ,... xq ui constituent n intégrales indépendantes de (î), c'est-à-dire une solution quelconque de (î); et nous cherchons à tirer parti, par des ( î ) ji.