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Sur les solutions asymptotiques des équations différentielles

1911; Société Mathématique de France; Volume: 28; Linguagem: Francês

10.24033/asens.642

1873-2151

Émile Cotton,

Nonlinear Differential Equations Analysis

Introduction.L'objet (le ce Mémoire est la recherche des solutions d'un système différent jelqui tendent vers zéro (^) quand la variable indépendante croît indénniment, ou plus généralement qui restent voisines de zéro dans les mêmes conditions.Les fonctions et les variables sont supposées réelles.Cette question, intéressante au double point de vue de la théorie pure et des applications, a déjà fait l'objet de travaux: importants ( 2 ).Ceux de M. Poincaré ont ouvert la voie; nous aurons très souvent dans la suite à citer ceux de M. Liapounoffet de M. BohL Dans ce travail nous utilisons une méthode nouvelle qui consiste à transformer les équations différentielles données (D) en équations intégrales ( ;î ) (I), et à appliquer à celles-ci le procédé classique d'approximations successives de M. Picard.f 1 ) Un changement de variables ramène à ce cas particulier le cas général des solutions tendant, pour do grandes valeurs de la variable, vers une solution connue, ou encore restant voisines d'une solution approchée connue.( r ) Voir le n 0 "!^ pour la bibliographie, et le n" 13 pour les applications.( îi ) L'une des limites des intégrales est variable; tes équations ne sont pas linéaires par-'rapporfc aux fonctions inconnues.Àwi, Éc.Aom., (3), XXVÏII.-OCTOIÎRE 1911.6o P (o, o, /) et Q (o, o, /) sont nalles.Observons que si \x\y jy , j^/j, jy') sont infériôurs à cr on aDe plus ces inégalités montrent que P et Q sont bornées pour M < ^ lyi < °" ( orl fau xf ==y ^ °)-Considérons les équations intégrales correspondant aux solutions ( î } L'existence de ces dérivées et a fortiori leur continuité ne sont pas des hypothèses essentielles ; mais renoncé des hypothèses sur les eoefïïcienfcs de Lipselutr.qu'il faudrait faire à la place de celles-ci, entraînerait des longueurs inutiles.( 2 ) On traduit ceci en langage ordinaire en disant pour >^o P ^tQ varient lentement au voisinage de w -ss-y === o.