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Sur l'intégration des équations de la chaleur (suite)

1898; Société Mathématique de France; Volume: 15; Linguagem: Francês

10.24033/asens.454

1873-2151

Édouard Le Roy,

Radiative Heat Transfer Studies

I. -Énoncé.-Préliminaires.-Définition des fonctions harmoniques fondamentales.-Un problème auxiliaire.-Approximations successives.34. Parmi, les équations de l'équilibre thermique, distinguons spécialement Y équation de Laplace :AU=o.On sait qu'une .fonctionV(x,y,z) est dite harmonique quand elle remplit les conditions de continuité fondamentales et qu'elle vérifie l'équation de Laplace.( l ) roir 3 e Série, Tome XI'V (1897), p. 879 à 465.Ànn. de l'Éc.'Normale.3^ Série.Tome XV. -JAWIEK ïSqB.'2 SUR L'mTÉGHATÎOlN DES ÉQUATIONS DE LA CHALEUB.. IILe principe de la méthode que je vais développer est exposé dans un Mémoire de M. Poincaré, Sur les équations de la Physique ( 1 ).J'ai dû modifier plusieurs détails, et je me suis inspiré, pour cela, d'un Mémoire du même auteur, paru tout dernièrement dans le journal de M. Jordan ( 2 ).Enfin, je me suis aussi servi d'un troisième Mémoire de M. Poincaré, contenu dans les Acta pour 1896 ( 3 ) : j'y ai pris quelques résultats, que j'ai généralisés un peu; mais surtout je me suis attaché à résoudre les problèmes qui y sont proposés vers la fin et qui se rapportent à la célèbre Méthode de Neumann. 35.Voici les hypothèses que nous ferons.La surface S aura, en chacun de ses points, un plan tangent unique et deux rayons de courbure principaux bien déterminés.Pour simplifier, bien que l'on puisse se placer dans des circonstances un peu plus générales, nous supposerons même que la frontière S, commune aux domaines TetT, est composée d'un nombre fini de surfaces fermées, noyant chacune qu une seule rwppe analytique régulière.Tel est le cas où S est formée d'une grande sphère, puis d'un ellipsoïde et d'un tore extérieurs l'un à l'autre et intérieurs à la sphère.On voit par là que notre hypothèse n'a rien de trop restrictif.Quanta la fonction périphérique donnée <&, nous admettrons, sauf avis contraire, qu'elle a des dérivées continues de tous les ordres par rapport aux deux coordonnées u et v qui fixent la position d'un point surS.Ces diverses hypothèses ne seront pas toujours indispensables à la rigueur des raisonnements.Mais je les fais, en général, dans un but d'abréviation.Nous aurons à considérer des fonctions W définies et continues en tout point {oc, y, s) de T et en tout point (x\y, s'} de T; s'il est nécessaire de distinguer les valeurs de la fonction en (,z\y,s) et en, ( 1 ) H. POÏNCAUE, Sur les équations clé la Phfsique mcuhérnatique (Rc/idlconti ciel Circolo îïîûtcmeitico di Pnlerrïio^ 1894).( 2 ) .H. PoïiNCAiiÉ, Sur l'équilibre et les Mouvements clés mers (four/ial de mathe'mcitiquer; 1896).( a ) 11. POINCAIIK, Sur Ici méthode de Ncurnann.et le problème de Dirichlet {^ictci math (îrnatic a; i^)C)).12 ÉD.LE nOY.(^y,^), nous les désignerons respeclivcs'neni par W et W\ la lettre W signifiant aussi, à l'occasion, la fonction totale envisagée comme définie dans tout l'espace.Lorsque le point (<z',y,,s) tendra vers un point de S en restant intérieur à S, W aura une limite V. De même, lorsque le point Çx^y'.z''')tendra vers le même point de S en restant extérieur à S, W aura une limite V. La lettre V représentera aussi la valeur de W au point considéré de S. Pareillement, nous appelleronsdVd rii dfie les dérivées de W et de W 7 prises en un point de S suivant la direction de la normale vers l'intérieur pour W et vers l'extérieur pour W\ Enfin, nous poserons dr =: dx dy dz, ch' = dx' dy' ds\ et da' sera un élément de S. Nos notations étant ainsi expliquées, rappelons encore les principales propriétés dn potentiel newtonicn d'une surface attirante.Soit ;x une fonction continue des coordonnées {u,v") du centre de gravité de des.Soit r la distance du point (u,v) au point courant.La fonction W= f .4r est harmonique dans Têt dans T\ Elle est holomorphe en tout point de l'espace, sauf sur S. Enfin, posons Les produits p'^^a^^y'^^, ^'.^ ^ tendent vers des limites finies lorsque p' augmente 1 indéfiniment.Tout cela suppose seulement la fonction p-continue* Si, en outre, la surface S'est régulière en chaque point, la fonction potentielle W reste finie ,et continue, même à la traversée de S, en 'sorte 1 qu'on peut écrire !• ^ ^ !: , !V= 'V.