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Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne. Trad. par J. Hoüel

1869; Société Mathématique de France; Volume: 6; Linguagem: Francês

10.24033/asens.60

1873-2151

Edward Beltrami,

Mathematics and Applications

Dans ces derniers temps, le public mathématicien a commencé à s'occuper de nouvelles idées, qui semblent destinées à modifier profondément les notions que l'on s'est formées jusqu'à présent sur l'origine des vérités géométriques.Ces idées ne sont pas de date récente.L'illustre Gauss les avait adoptées dès ses premiers pas dans la carrière scientifique, et bien qu'aucun de ses écrits n'en contienne l'exposition développée, ses lettres nous montrent à quel point il s'y était attaché, et nous témoignent de sa pleine adhésion a la doctrine de Lobatchefsby.Nous avons cherché à nous rendre compte à nous-même des résultats auxquels conduit cette nouvelle doctrine; et, suivant un procédé qui nous semble tout à fait conforme aux bonnes traditions de l'investiga-.3î. ^3^-ESSAI D ÎNTERPBÉTATÏONtiôo scientifique, nous avons essayé de lui trouver une base réelle.Nous croyons y avoir réussi pour la partie planimétrique; mais il nous semble impossible d'y parvenir dans le cas de trois dimensions.Le présent Mémoire est destiné principalement a développer la première de ces thèses'; quant à la seconde, nous nous contenterons pour le moment de quelques indications, pour que l'on puisse mieux juger du sens que nous attachons à notre interprétalioD..Pour ne pas interrompre trop souvent la suite de notre exposition, , nous avons renvoyé à des Notes spéciales, placées à la fin du Mémoire, les explications relatives a certains résultats analytiques sur lesquels nous devons nous appuyer* I.Le critérium fondamental des démonstrations de la Géométrie élémentaire consiste dans la superposition des figures égales.Ce critérium n'est pas seulement applicable au plan, mais aussi à toutes les surfaces sur lesquelles il peut exister des figures égales dans différentes positions, c'est-à-dire à toutes les surfaces dont une portion quelconque peut être appliquée exactement, par simple flexion, sur une autre portion quelconque de la surface elle-même.On voit, en effet, que la rigidité des surfaces sur lesquelles les figures sont tracées, n'est pas une condition essentielle de l'application de ce critérium; par exemple, l'exactitude des démonstrations de la Géométrie plane euclidienne ne serait en rien altérée, si l'on venait à concevoir les figures comme tracées sur la surface d'un cylindre ou d'un cône, au lien de l'être sur un plan.Les surfaces pour lesquelles se vérifie sans restriction la propriété dont il s'agit, sont, en vertu d'un théorème célèbre de Gauss, toutes celles qui ont en chacun de leurs points le produit de leurs deux rayons de courbure principaux constant, ou, en d'autres termes, toutes celles dont la mesure de courbure est constante.Les autres surfaces n'admettent pas sans restriction l'application du principe de superposition pour la comparaison des figuresqui y sont tracées, et, par suite, ces figures ne peuvent avoir une structure entièrement indépendante de leur position* DE LA.GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE..