Portal de Periódicos da CAPES

Mémoire sur les combinaisons régulières et leurs applications

1876; Société Mathématique de France; Volume: 5; Linguagem: Francês

10.24033/asens.136

1873-2151

Désiré André,

Mathematics and Applications

INTRODUCTION.L'un des problèmes les plus généraux qu'on puisse se proposer sur les combinaisons nous paraît être celui-ci :Étant données m lettres distinctes n, b, c,..., combien peut-on, avec elles, former de groupes contenant chacun n lettres distinctes ou identiques, et satisfaisant à ces conditions que deux groupes quelconques différent autrement que par V ordre des lettres et que, dans un même groupe, la lettre, a ne soit pas répétée plus de y. fois, la lettre b plus de ^ fois, etc.Ce problème est évidemment fort compliqué* II se simplifie beaucoup dans le cas où a, ^3, 7,..* sont tous égaux à un même nombre p; mais alors nous avons, non plus les groupes précédents, que nous pourrions nommer les combinaisons générales de m lettres n à n^ mais des groupes plus particuliers que nous appellerons les combinaisons réguliéres d'ordre p de m lettres n à n.Les combinaisons simples et les combinaisons complètes^ les seu-les qu'on ait étudiées jusqu'ici en détail, ne sont autre chose que les combinaisons régulières du premier et du n 1 ^ ordre-Ce sont les combinaisons régulières qui forment l'objet de ce Mémoire.Des cinq Chapitres qui le composent, les trois premiers sont 20.l56 DÉSIBÉ ANDRÉ.consacrés aux combinaisons régulières elles-mêmes; les deux autres à leurs applications.Nous revenons d'abord (Chap.I) sur la définition fondamentale; nous montrons que la connaissance du nombre des combinaisons régulières fournit immédiatement la solution de certaines questions d'Algèbre, d'Analyse indéterminée et de Calcul des probabilités; nous faisons connaître les notations que nous avons choisies et les conventions que nous avons dû faire pour rendre les formules générales.Nous passons ensuite (Chap.II) aux propriétés du nombre des combinaisons régulières.Ces propriétés sont nombreuses, remarquables, et, comme il devait arriver, toutes celles des combinaisons simples n'en sont que des cas particuliers.Elles se réduisent pour la plupart à des identités, et toutes ces identités sont établies, pour ainsi dire sans calcul, par des procédés purement combinatoires.On sait que ces procédés consistent à trouver deux expressions différentes du nombre des combinaisons qui satisfont à des conditions données et à les égaler.Une identité ainsi établie correspond, en général, à un certain mode de classification des combinaisons.En ces matières, la difficulté principale, pour ne pas dire la seule, est de faire des classifications bien nettes et des dénombrements bien complets.Ces propriétés connues, nous en déduisons (Ghap.111) des moyens divers de calculer le nombre des combinaisons régulières.Nous trouvons, toujours par les seuls procédés combinatoires, qu'on peut effectuer ce calcul de quatre façons différentes : i ° par voie récurrente ; 2° par voie récurrente encore, mais symboliquement; 3° par une formule qui donne immédiatement l'inconnue à l'aide des nombres des combinaisons simples et des combinaisons complètes; 4° enfin, par un triangle dont celui de Pascal n'est que le premier cas particulier.De ces procédés, le dernier est de beaucoup le plus rapide.Au reste, chose remarquable, cette rapidité plus grande est un avantage qu'apportent avec eux tous les triangles, tableaux ou abaques employés jusqu'ici en Mathématiques, notamment ceux que M. Bourget a donnés dans son Mémoire Sur les nombres de Cauchy^) et dans sa Théorie des permutations ( 2 ).