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Hablemos de la esfera

2016; Unión Matemática Argentina; Volume: 31; Issue: 2 Linguagem: Espanhol

1852-2890

Cristián U. Sánchez,

Historical Studies in Science

Les propongo mirar una prueba de la ?conocida? profunda formula sobre los poliedros debida a Euler: V −L + C = 2 y de paso revisar algunas ideas sobre la esfera y algunas otras superficies. La demostracion que veremos es debida a Adrien-Marie Legendre y, a decir de los historiadores, parece ser la primera prueba “correcta” pues se argumenta que la original de Euler no era completa. De todos modos Euler es quien encontro esta profunda relacion y nos dio la oportunidad de agregar esta gota a los “rios de tinta” que por ella han corrido. Diria que el crucial papel de Euler en este asunto es similar al del personaje de dibujos animados que abre una “puerta secreta” y sin querer, su curiosidad e inteligencia descubren un mundo. La prueba de Legendre, es sencilla, pero tiene la virtud de mostrar con claridad un hecho de la mayor importancia. Esto es que la formula expresa en verdad una propiedad de la esfera la cual se manifiesta en particular en los poliedros convexos. Para acceder a la prueba haremos primero algunos comentarios sobre la geometria esferica. En la geometria plana las figuras geometricas sencillas como los poligonos se construyen usando puntos y rectas que son los objetos “basicos” de dicha geometria. En la esfera los objetos basicos son tambien los puntos pero las rectas son reemplazadas por los circulos maximos en ella. Asi dos puntos, que no sean ambos polos, determinan un unico circulo maximo que los contiene. Por otra parte a los angulos esfericos (formados por dos circulos maximas que se cortan en un punto) se les asigna como su “medida” la del ´angulo plano que forman las rectas tangentes en el plano tangente correspondiente al punto de interseccion. En la geometria plana la suma de los angulos interiores de todo triangulo es 2 rectos = π pero en la geometria esferica la cosa no es tan simple como ya observara Menelao de Alejandria. En efecto, en la geometria esferica la suma de los angulos interiores de un triangulo se ve “perturbada” por el area del triangulo en cuestion aunque de una manera bastante razonable. Para enfatizar la naturaleza de los triangulos a considerar donde sus lados son arcos de circulo maximo en la esfera (es decir “geodesicas” de su geometria intrinseca) agregaremos el adjetivo “geodesico” a los triangulos a considerar. En efecto tenemos el siguiente resultado del siglo XVII obtenido por T. Harriot y A. Girard independientemente.