Portal de Periódicos da CAPES

Espaces fibrés en sphères et carrés de Steenrod

1952; Société Mathématique de France; Volume: 69; Linguagem: Francês

10.24033/asens.998

1873-2151

René Thom,

Ce travail contient essentiellement la démonstration des résultats parus dans deux Notes aux Comptes rendus [23] ( l ).Je l'ai fait suivre de quelques applications, et, dans un dernier chapitre, je traite un problème sans rapport direct avec ceux des chapitres précédents; si j'ai tenu à conserver les développements du chapitre V sur le problème des variétés-bords, c'est que, chronologiquement, ce sont ces problèmes qui m'ont amené aux résultats de la première partie.Le rapport liant les classes caractéristiques de Stiefel-Whitney aux nouvelles opérations définies par Steenrod en cohomologie n'apparut clairement que lors de la découverte de la formule Sq'U^ç^W 1 , formule que je trouvai d^abord dans le cas des variétés plongées, et dont M. H. Cartan me signala ensuite toute la généralité.Voici, en résumé, le contenu des différentes parties de ce travail.D'abord une Introduction sur la Théorie des faisceaux donne l'ensemble des notions techniques nécessaires aux démonstrations des chapitres qui suivent.L'usage de la Théorie dès faisceaux, due essentiellement à M. J. Leray, s'avérait nécessaire pour donner aux résultats le maximum de généralité; j^ai emprunté au Séminaire de Topologie algébrique [2] (E.N. S.) de H. Cartan, l'exposition des principaux théorèmes de cette théorie, ainsi que de récentes généralisations : j'ai largement exploité, notamment, sa théorie de la cohomologie à supports dans une famille {^\ sans laquelle 11 serait difficile de s'affranchir d'hypothèses inutilement restrictives sur la compacité des espaces.( 1 ) Les numéros placés entre crochets renvoient à la bibliographie placée à la fin de POuvrage.Ann.Éc.Norm., (3), LXIX.-FASC.2. l4 ESPACES FIBRES EN SPHÈRES ET CARRÉS DE STEENROD.III le chapitre IV poursuit quelques investigations dans ce sens, au demeurant fort limitées (on y dégage des invariants d'homotopie).Le chapitre V reprend, avec les techniques de la théorie des faisceaux, les théorèmes classiques de dualité des variétés à bord.On en déduit quelques conséquences nouvelles, semble-t-il, au sujet d'un problème soulevé par N. E. Steenrod : Une variété compacte donnée V est-elle le bord d'une variété à bord compacte?Un théorème de Pontrjagin, généralisé au cas non différentiable, montre le rapport de ce problème avec la théorie des classes caractéristiques.Je m'en voudrais de ne pas témoigner à M. H. Cartan toute la gratitude que je lui dois pour l'assistance qu'il m'a apportée pendant ces dernières années; tant pour le fond que pour la forme, je lui suis redevable de nombreuses améliorations.Je tiens également à exprimer ma reconnaissance à M. Wu Wen-Tsùn, dont l'amicale et confiante collaboration ne m'a jamais fait défaut, et dont les suggestions furent souvent; pour moi, d'un intérêt décisif. INTRODUCTION.RAPPEL DE RÉSULTATS SUR LA THÉORIE DES FAISCEAUX.Les notions techniques utilisées dans les chapitres qui suivent sont empruntées à la Théorie des faisceaux; cette théorie est due essentiellement à J. Leray, qui en a donné un expose dans [12j; nous utiliserons toutefois la nouvelle présentation et les développements récents que lui a donnés H. Cartan, dans les exposés du Séminaire de ïopologie algébrique (E.N. S.), années 1948-1949 et 1950-1951; cette Introduction ne contient aucune démonstration 9 , on se reportera donc à ces exposés, dont nous conservons les notations.I. -Notion de faisceau.1. DÉFINITION.-Soit X un espace topologique ; soit K un anneau principal ; un faisceau de K-modules sur X est un ensemble F muni d'une application p -i (projection) sur X telle que : pour tout point ^eX, l'image inverse V^=p(oe) (fibre) soit munie d'une structure de K-module.De plus, F est muni d'une topologie (éventuellement non séparée) telle que : a. la multiplication par un élément fixe de K, définie dans chacun des F^, définit une application continue de F dans lui-même ;