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Convergence of boundary layers for the Keller–Segel system with singular sensitivity in the half-plane

2019; Elsevier BV; Volume: 130; Linguagem: Inglês

10.1016/j.matpur.2019.01.008

1776-3371

Qianqian Hou, Zhi‐An Wang,

advanced mathematical theories

Though the boundary layer formation in the chemotactic process has been observed in experiment (cf. [63]), the mathematical study on the boundary layer solutions of chemotaxis models is just in its infant stage. Apart from the sophisticated theoretical tools involved in the analysis, how to impose/derive physical boundary conditions is a state-of-the-art in studying the boundary layer problem of chemotaxis models. This paper will proceed with a previous work [24] in one dimension to establish the convergence of boundary layer solutions of the Keller–Segel model with singular sensitivity in a two-dimensional space (half-plane) with respect to the chemical diffusion rate denoted by ε≥0. Compared to the one-dimensional boundary layer problem, there are many new issues arising from multi-dimensions such as possible Prandtl type degeneracy, curl-free preservation and well-posedness of large-data solutions. In this paper, we shall derive appropriate physical boundary conditions and gradually overcome these barriers and hence establish the convergence of boundary layer solutions of the singular Keller–Segel system in the half-plane as the chemical diffusion rate vanishes. Specially speaking, we justify that the boundary layer converges to the outer layer (solution with ε=0) plus the inner layer as ε→0, where both outer and inner layer profiles are precisely derived and well understood. By doing this, the structure of boundary layer solutions is clearly characterized. We hope that our results and methods can shed lights on the understanding of underlying mechanisms of the boundary layer patterns observed in the experiment for chemotaxis such as the work by Tuval et al. [63], and open a new window in the future theoretical study of chemotaxis models. Bien que la formation de couche limite dans le processus chimiotactique ait été observée expérimentalement (cf. [63]), l'étude mathématique des couches limites pour les modèles de chimiotaxie n'en est qu'à ses débuts. Outre les outils théoriques sophistiqués impliqués par l'analyse, la manière d'imposer/déduire des conditions aux limites physiques est un état de l'art dans l'étude du problème de la couche limite des modèles de chimiotaxie. Cet article poursuit un travail précédent en une dimension [24] et établit la convergence des couches limites du modèle de Keller–Segel avec une sensibilité singulière dans un espace à deux dimensions (demi-plan) quand le taux de diffusion, noté ε≥0, tend vers 0. Par rapport au problème de la couche limite unidimensionnelle, le cas multidimensionnel soulève de nombreuses difficultés, telles que la possible dégénérescence de type Prandtl, la préservation de la condition de rotationel nul, et le caractère bien posé des solutions pour des données larges. Dans cet article, nous établissons les conditions aux limites physiques appropriées et surmontons progressivement ces difficultés pour établir la convergence des solutions de couche limite du système de Keller–Segel dans le demi-plan lorsque le taux de diffusion chimique s'annule. En particulier, nous justifions que la couche limite converge vers la couche externe (solution avec ε=0) plus la couche interne quand ε→0, où les profils de couche interne et externe sont dérivés et compris avec précision. Ce faisant, la structure des solutions de couche limite est clairement caractérisée. Nous espérons que nos résultats et nos méthodes pourront éclairer la compréhension des mécanismes sous-jacents des modèles de couche limite observés dans l'expérience de chimiotaxie, tels que ceux de Tuval et al. [63], et ouvrir de nouvelles perspectives pour l'étude théorique des modèles de chimiotaxie.