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Recurrence of Markov chain traces

2020; Institute of Mathematical Statistics; Volume: 56; Issue: 1 Linguagem: Francês

10.1214/19-aihp979

1778-7017

Itaı Benjamini, Jonathan Hermon,

Point processes and geometric inequalities

Nous montrons que les graphes pour lesquels la marche aléatoire simple est transiente n’admettent pas de chaîne de Markov transiente aux plus proches voisins (même non réversible) visitant toutes les arêtes avec probabilité positive, tandis qu’il en existe une pour le réseau carré $\mathbb{Z}^{2}$. En particulier, le réseau $d$-dimensionnel $\mathbb{Z}^{d}$ admet une telle chaîne de Markov seulement lorsque $d=2$. Lorsque $d=2$ nous présentons un exemple de Gady Kozma, et le résultat général est obtenu en prouvant que la trace de toute chaîne de Markov sur un espace d’état dénombrable qui admet une mesure stationnaire est presque sûrement récurrente pour la marche simple. Le cas où la chaîne est réversible a été traité par Gurel-Gurevich, Lyons et le premier auteur. Nous exploitons des résultats récents de théorie du potentiel sur les chaînes de Markov non réversibles pour étendre leur résultat au cas non réversible.