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Convergence of linear combinations of iterates of an inner function

2022; Elsevier BV; Volume: 161; Linguagem: Francês

10.1016/j.matpur.2022.03.003

1776-3371

Artur Nicolau,

Analytic and geometric function theory

Let f be an inner function with f(0)=0 which is not a rotation and let fn be its n-th iterate. Let {an} be a sequence of complex numbers. We prove that the series ∑anfn(ξ) converges at almost every point ξ of the unit circle if and only if ∑|an|2<∞. The main step in the proof is to show that under this assumption, the function F=∑anfn has bounded mean oscillation. We also prove that F is bounded on the unit disc if and only if ∑|an|<∞. Finally we describe the sequences of coefficients {an} such that F belongs to other classical function spaces, as the disc algebra and the Dirichlet class. Soit f une fonction interne avec f(0)=0 qui n'est pas une rotation et soit fn sa n-ième itérée. Soit {an} une suite de nombres complexes. Nous prouvons que la série ∑anfn(ξ) converge en presque tous les points ξ du cercle unité si et seulement si ∑|an|2<∞. L'étape principale de la preuve est de montrer que sous cette hypothèse, la fonction F=∑anfn a une oscillation moyenne bornée. Nous prouvons également que F est bornée sur le disque unité si et seulement si ∑|an|<∞. Enfin nous décrivons les suites de coefficients {an} telles que F appartient à d'autres espaces de fonctions classiques, comme par exemple l'algèbre de disque ou la classe de Dirichlet.