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A Ginzburg–Landau model with topologically induced free discontinuities

2021; Association of the Annals of the Fourier Institute; Volume: 70; Issue: 6 Linguagem: Francês

10.5802/aif.3388

1777-5310

Michaël Goldman, Benoît Merlet, Vincent Millot,

Caveolin-1 and cellular processes

Nous étudions un modèle variationnel en deux dimensions qui combine les caractéristiques des fonctionnelles de Ginzburg–Landau et de Mumford–Shah. Comme dans la théorie classique de Ginzburg–Landau (et dans le régime de faible énergie) un nombre prescrit de vortex apparaît ; le modèle autorise aussi la formation de lignes de discontinuité dont l’énergie pénalise la longueur. Le phénomène nouveau est que les vortex ont un degé fractionnaire 1/m prescrit et qu’ils doivent être connectés par les lignes de discontinuité pour former des agrégats de degré total entier. Vortex et discontinuités sont donc couplés par une contrainte topologique. Comme dans le modèle de Ginzburg–Landau, l’énergie contient une échelle de longueur ε>0. Nous faisons une analyse complète de la Γ-convergence de ce modèle lorsque ε↓0 dans le régime de faible énergie. Nous étudions ensuite la structure des minimiseurs du problème limite et montrons en particulier que les lignes de saut d’un tel minimiseur sont solutions d’une variante du problème de Steiner. Enfin, nous établissons que pour ε>0 petit, les minimiseurs du problème initial possèdent la même structure, du moins loin des vortex.