Produção Nacional
Introdução aos modelos de tempo discreto aplicados a dinâmica populacional
2019; Éditions Mélanie Seteun; Linguagem: Português
ISSN
2117-4148
AutoresThayná Andrade Barbosa, Vagner Weide Rodrigues, Vinicius Weide Rodrigues,
Tópico(s)Plant and animal studies
ResumoA Biomatematica, area na qual se estuda modelos matematicos para investigar o comportamento de sistemas biologicos, embora seja uma das areas mais importantes em matematica aplicada, ainda e pouco conhecida e explorada nos cursos de graduacao. Historicamente, o desenvolvimento de modelos matematicos para retratar fenomenos naturais tem sido construidos a partir de equacoes diferenciais (no qual o tempo e considerado continuo), como por exemplo o modelo de Malthus, modelo de Verhulst (equacao logistica) e modelo de Lotka-Volterra. Entretanto, existem varios sistemas cuja dinâmica e melhor descrita ao considerarmos intervalos de tempo discretos, como por exemplo, em especies com reproducao sazonal ou com ciclo anual de vida (BEGON et al., 2006). Alem disso, em estudos experimentais, os dados sao frequentemente coletados em intervalos de tempo igualmente espacados, mesmo em casos em que o objeto de estudo evolua, na verdade, continuamente. Por exemplo, um pesquisador faz observacoes a respeito de uma reacao quimica a cada hora, da altura de uma planta a cada dia, da populacao de determinada especie a cada ano, etc. (DE VRIES et al., 2006). Para estes cenarios, e mais adequada a utilizacao de equacoes a diferencas (onde o tempo e considerado discreto) ao inves de equacoes diferenciais. Com as equacoes a diferencas podemos, a partir de uma populacao inicial, calcular recursivamente o numero de individuos apos n geracoes. Diversos modelos discretos em dinâmica de populacoes sao formulados a partir destas equacoes. O modelo de Nicholson-Bailey (1935), por exemplo, analisa a dinâmica parasitoide-hospedeiro atraves de um sistema de equacoes a diferencas nao lineares. Sistemas envolvendo este tipo de modelagem sao capazes de descrever a dinâmica entre duas ou mais populacoes, incorporando a formulacao matematica relacoes simbioticas: mutualismo, comensalismo e parasitismo. Alem disso, pode-se analisar a evolucao de uma populacao de presas e predadores e verificar condicoes para sua persistencia ou extincao. O comportamento qualitativo das solucoes de modelos discretos e, em geral, muito mais complexo do que aqueles obtidos atraves de modelos continuos, mesmo em modelos para uma unica populacao (MAY, 1976). Embora o interesse por modelos de tempo discreto tenha aumentado durante as ultimas decadas, modelos para sistemas com interacao entre especies ainda permanecem longe de serem completamente entendidos (WEIDE, 2019). Diante disso, no ano de 2019 iniciou-se uma pesquisa intitulada “Estudo de equacoes a diferencas aplicadas em dinâmica populacional” no curso de Licenciatura em Matematica do IFRS – Campus Bento Goncalves, cujo principal objetivo era desenvolver modelos matematicos usando equacoes a diferencas para o estudo de problemas que envolvessem a dinâmica de duas populacoes interagentes a partir do estudo e compreensao dos conceitos matematicos envolvidos na construcao de um modelo para uma unica especie. Em um primeiro momento, a pesquisa se concentrou no estudo das bibliografias basicas para a obtencao de conceitos e resultados fundamentais de equacoes a diferencas, bem como as suas aplicacoes em dinâmica populacional. Em seguida, foram construidas simulacoes nos softwares matematicos Mathematica e Scilab para a obtencao de solucoes numericas de equacoes a diferencas lineares e nao lineares, alem de suas representacoes graficas. Na sequencia, utilizando-se de tudo que foi aprendido e construido nas duas etapas anteriores, foram explorados tres modelos especificos: mapa logistico, modelo de Ricker e modelo de Beverton-Holt (RICKER, 1954; ALLEN, 2007). Por fim, estamos desenvolvendo um sistema de equacoes a diferencas para o estudo de um modelo matematico de duas especies que interagem (predador-presa). Uma vez que a pesquisa esta em andamento, o presente trabalho tem como objetivo apresentar os resultados parciais do projeto, principalmente no que diz respeito a formulacao de modelos que consideram o tempo discreto e comparacao entre duas dinâmicas populacionais classicas: o crescimento geometrico e o mapa logistico. O crescimento geometrico (correspondente ao modelo de Malthus para equacoes diferenciais) considera o fator de crescimento constante, de modo que a populacao na geracao n+1 e proporcional a populacao na geracao n. Quando o fator de crescimento e maior que 1, a populacao cresce exponencialmente. Este modelo, no entanto, so apresenta resultados significativos para pequenos intervalos de tempo, pois o crescimento exponencial nao e viavel devido as limitacoes de alimento e espaco que o meio possui, mas pode ser utilizado para justificar o estagio inicial de crescimento de certas bacterias, por exemplo. Por sua vez, o mapa logistico (correspondente a equacao logistica para modelos continuos) considera o crescimento per-capita dependente da densidade populacional, a qual decresce linearmente a medida que a populacao aumenta. Este ajuste no fator de crescimento incorpora a formulacao matematica um limitante na populacao, chamado de capacidade de suporte. Dependendo da escolha dos parâmetros, o mapa logistico pode exibir comportamentos nao observados na equacao logistica para equacoes diferenciais, como ciclos de periodo multiplo de 2, alem de comportamento caotico. A construcao de um diagrama de bifurcacao e adequado para observar o comportamento assintotico das solucoes de equilibrio para um parâmetro de interesse.
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