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Mémoire sur les équations différentielles du premier ordre

1891; Société Mathématique de France; Volume: 8; Linguagem: Francês

10.24033/asens.350

1873-2151

Paul Painlevé,

Advanced Mathematical Modeling in Engineering

INTRODITCTION'.Les théorèmes bien connus de MM.Briot et Bouquet permettent d'étudier, dans le voisinage d'un point x^, les intégrales d'une équation différentielle du premier ordre y'=f{oe,y), qui deviennent égales àyo pour x=x^.Si f{oc,y) est holornorphe dans le voisinage de x^, y^, il, existe une seule intégrale satisfaisant à la condition y{^o) == /o? e ^ on sait la développer en série de Taylor.Quand le,s valeurs (^o»jo) forment un couple de valeurs singulières def(x,y), on sait encore discuter, dans le voisinage de x^, la forme des intégrales, qui, peuvent être alors en nombre infini.MM.E. Picard et H. Poincaré ont même indiqué des développements en séries de ces intégrales dans le voisinage de ^o-,( 1 ) Mémoire couronné par l'Académie des Sciences (grand prix des Sciences mathénîatiques, ^890).. Ànn. de VÉ€.Norm.. 3* Série.Tome Vlïî.-JANVIER 1891. 2 ÎO P. PÂlNLEVÉ.Mais qu'arrive-t-il lorsqu'on fait varier x d'une façon quelconque dans le plan des.r et qu'on suit les variations correspondantes d'une intégrale particulière y? La fonction y est-elle indéterminée en certains points .To? acquiert-elle un nombre limité ou illimité de valeurs?C'est là une question à laquelle ne répondent pas les théorèmes que nous venons de rappeler.Dans le cas particulier où oc ne figure pas explicitement dans l'équation F(^/)==o, supposée algébrique enj.y,MM.Briot et Bouquet ont résolu le problème suivant : Reconnaître si ^intégrale générale de l'éf/ïlalion est une fo/n'/ion de x qui n admet dans le plan qu'un nombre donné n de déterminul.lo//s.Ce, problème, devenu classique, a été le point de départ d'un très grand nombre de travaux.Mais, quand x figure explicitement dans l'équation !' (i) , F[j,y,(^)]=:=o, algébrique en y, y\ la question analogue apparaît comme beaucoup plus compliquée, et elle était demeurée intacte jusque dans ces dernières années.C'est M. Fuchs (^) qui, le premier, a cherché les conditions pour que l'intégrale d'une équation (i) soit,uniforme.Il s'est même placé a un point de vue plus général que je vais indiquer.Quand on considère les intégrales d'une équation différentielle d'ordre quelconque, parmi les points critiques x, de ces intégrales (j'entends les points où plusieurs valeurs dey se permutent), il en est qui varient avec les constantes d'intégration et que j'appelle polnĉ ritiques mobiles; d'autres, au contraire, qui restent/^.Ces deux espèces de points jouent un rôle très différent, comme la suite de ce Mémoire le montrera.M. Fuchs a indiqué les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale de (î) n'ait que des points critiques 1 fixes 1 ^.Ces con"( 1 ) FUCHS, Sitzw^berichte der Académie der Wissenschciften.m-Berlin, juin (884. SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.Il: ditions une fois remplies, si l'on veut que l'intégrale générale soit uniforme, il reste à exprimer que ces points oo^ qui sont connus, ne sont pas des points critiques des intégrales.M. H. Poincaré ( < ), reprenant ia question, est arrivé à ces conclusions inattendues :Quand les points critiques de F équation ( i ) sont fixes, cette équation s intègre algébriquement, ou par une quadrature, ou se ramène à une équation de Riecati, Les trois cas se distinguent de la manière suivante.Donnons à x une valeur quelconque dans l'équation (r).Cette équation, algébrique et irréductible en y.j', FL/,y.(^)]=o.a un certain genre p qui ne varie pas avec x.C'est co nombre/^ que nous appelons, par définition, genre de VéquaUon diffiirentieile.Si p est plus grand que ,r, les équations de M. Fuchs s'mtegreril algébriquernesit; si.p === s, elles s'intègrent par quadrature; si.p est nul, elles se ramènent \\ une équation de Riccati.La raison de ce fait est qu'il existe alors, entre les valeurs (y\ Y) el (.yo»,y<)) ^° l'intégrale et de sa dérivée aux points x el a'^, une correspondance birationnelle qui, transforme l'une dans l'autre des deux courbes algébriques F [js Y, W] = o, F[ro.y'^ (<^)] ^ o-Plus récemment, M. Picard ( 2 ) s'est servi d'un théorème analogue pour intégrer des classes très étendues d'équations d'ordre supérieur.Je me propose de généraliser dans ce travail, à la fois la question résolue par M. Poincaré et la méthode qui l'a conduit, à cette solution.Joignons dans le plan des^ par des coupures L tous les points critiques fixes Xi des intégrales de (x)', en.choisissant ces coupures de( 1 ) H. POIIN'CAMÉ, Sur un théorème de M. Fac/i^ {Âcta malhemeitica, t.VIÏ).( f2 ) E, PÏCAÏU), Théorie des fonctions cd^ébricjueîs de deux 'va'nal'le,v ( /our/uti deM'cfïhê» ywtùfueSy 1889 )^ ' p étant uniforme en r, r\ r" (ou en c, c\ c^Y Quant aux /', r', r", ils sont liés dans tous les cas par une relation algébrique A[r, r 1 , / >// , (.z-o)]=:o, qu'on peut écrire aussi bien, en faisant