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Instantaneous frequency and the conditional mean frequency of a signal

1997; Elsevier BV; Volume: 60; Issue: 2 Linguagem: Francês

10.1016/s0165-1684(97)80003-5

1872-7557

Patrick J. Loughlin, B. Tacer,

Scientific Measurement and Uncertainty Evaluation

Time-varying frequency is a natural occurrence, the mathematical and physical description of which has been evolving for many decades. One description of time-varying frequency is the instantaneous frequency proposed by Gabor, defined as the derivative of the phase of the (analytic) signal. The interpretation of this quantity has been a subject of much investigation. One interpretation arising from time—frequency distribution theory is that instantaneous frequency is the average frequency at each time in the signal. We explore this interpretation in detail, and derive conditions on an arbitrary two-component AM—FM complex signal for which this interpretation is plausible. The situations for which these conditions are met are limited. We also show that while one can force the interpretation by generating a new complex representation (not necessarily analytic) for which the derivative of the phase coincides with the average frequency at each time and for which the real part of this complex signal is the given signal, the amplitude of this complex signal is generally unbounded. Thus, if instantaneous frequency is to interpreted as the average frequency at each time, the instantaneous amplitude must generally be unbounded. Conversely, if we insist that the instantaneous amplitude be bounded, then the instantaneous frequency generally cannot be interpreted as the average frequency at each time. Eine zeitvariante Frequenz ist eine natürliche Erscheinung, deren mathematische und physikalische Beschreibung über viele Dekaden weiterentwickelt wurde. Eine Beschreibungsmöglichkeit ist nach Gabor die Momentanfrequenz, definiert als Ableitung der Phase des (analytischen) Signals. Diese Interpretation wurde intensiv untersucht. Eine andere Beschreibungsmöglichkeit ist die zu jedem Zeitpunkt gemittelte Frequenz, die aus der Theory der Zeit—Frequenz-Verteilungen abgeleitet wurde. Wir untersuchen diese Interpretation im Detail und leiten Bedingungen her, für die sie plausibel ist, wenn man willkürliche komplexe AM—FM-Signale berücksichtigt, die aus zwei Komponenten bestehen. Solche Situationen, in denen dies zutrifft, sind beschränkt. Desweiteren zeigen wir, daß eine verbesserte Interpretation durch eine neue komplexe (nicht notwending analytische) Darstellung, bei der die Ableitung der Phase und die gemittelte Frequenz übereinstimmen, und bei der der Realteil des komplexen Signals das gegebene Signal ist, unbegrenzte Amplituden des komplexen Signals voraussetzt. Daraus folgt, daß die Amplitude der Momentanfrequenz unbegrenzt sein muß, falls man die Momentanfrequenz als eine zu jedem Zeitpunkt gemittelte Frequenz interpretiert. Umgekehrt kann man zeigen, daß wenn die Amplitude der Momentanfrequenz begrenzt ist, sie nicht als eine zu jedem Zeitpunkt gemittelte Frequenz interpretiert werden kann. Une fréquence variant dans le temps est un élément de la nature, dont la description mathématique et physique évolue depuis des dizaines d'années. Une description possible de la fréquence variant dans le temps est la fréquence instantanée proposée par Gabor, et définie comme la dérivée de la phase du signal (analytique). L'interprétation de cette quantité a été le sujet de nombreux travaux. Une interprétation venant de la théorie des distributions temps—fréquence est que la fréquence instantanée est la fréquence moyenne à chaque instant du signal. Nous explorons cette interprétation en détail, et dérivons les conditions sur un signal complexe AM—FM à deux composants arbitraires pour lesquelles cette interprétation est plausible. Les situations dans lesquelles ces conditions sont remplies sont limitées. Nous montrons également que, bien que l'on puisse forcer l'interprétation en générant une nouvelle représentation complexe (pas nécessairement analytique) pour laquelle la dérivée de la phase coïncide avec la fréquence moyenne à chaque instant du temps et pour laquelle la partie réelle de ce signal complexe est le signal donné, l'amplitude de ce signal complexe est en général non bornée. En conséquence, si la fréquence instantanée doit être interpréteé comme la fréquence moyenne à chaque instant, l'amplitude instantanée doit être en général non bornée. Réciproquement, si on veut une amplitude instantanée bornée, alors la fréquence instantanée ne peut en général pas être interprétée comme la fréquence moyenne à chaque instant du temps.